Significato teorema delle funzioni implicite

[Kroldar]

Dando per scontata la conoscenza di questo teorema, mi chiedo cosa esso voglia dire esattamente. Qual è, insomma, il suo senso più profondo, l'aspetto più "interessante"?
Potrebbe venire spontaneo pensare che il centro della questione sia la possibilità di esplicitare una variabile in funzione dell'altra, ma questo teorema ci permette anche di trovare la derivata di una funzione (la funzione esplicita) senza conoscerla (cioè senza aver esplicitato direttamente la funzione). Magari ci potrebbero essere ancora altri aspetti che non ho considerato...

[Injo]

Beh, credo che l'aspetto più importante sia quello di poter trattare localmente l'insieme degli zeri di una funzione come se fosse effettivamente una funzione che rende dipendenti alcune variabili rispetto alle altre. Ad esempio non si potrebbe cercare la derivata in $x=1/2$ della circonferenza $x^2 + y^2 = 1$ in quanto questa non è una funzione, ma grazie al teorema delle funzioni implicite questo è possibile.

[Camillo]

Il teorema permette di trovare le derivate della funzione implicita in un punto e quindi di costruire lo sviluppo di Taylor della funzione con centro quel punto , pur senza conoscere la funzione in modo esplicito .

[Luca.Lussardi]

Visto in un contesto di dimensione infinita: potrebbe succedere di avere un'equazione differenziale della forma $F(x,u,u')=0$ e non in forma canonica $u'=f(x,u)$. Ecco che qui interviene in modo pesante la necessità di esplicitare $u'$ per avere la forma canonica alla quale applicare la teoria standard.

[gugo82]

"Luca.Lussardi":Visto in un contesto di dimensione infinita: potrebbe succedere di avere un'equazione differenziale della forma $F(x,u,u')=0$ e non in forma canonica $u'=f(x,u)$. Ecco che qui interviene in modo pesante la necessità di esplicitare $u'$ per avere la forma canonica alla quale applicare la teoria standard.

Tipo quello che viene fatto qui alla sezione 4.4, pagina 17 (25 nel counter) e seguenti?