Significato geometrico gradiente
Salve a tutti avrei una domanda da chiedervi.
Il gradiente è un vettore la cui direzione è quella che massimizza la derivata parziale direzionale giusto?
In molti libri trovo scritto che il gradiente da la direzione di massima crescita della funzione,nel punto dove viene calcolato.Tuttavia non sono convintissimo di ciò in quanto sono sicuro che il gradiente come gia scritto massimizza la derivata direzionale,tuttavia queste vengono calcolate rispetto ad un retta di direzione data da v con norma unitario.Quindi non è vero che il gradiente indica la direzione di massima crescita della funzione in qualunque direzione,in quanto oltre ad avere le rette come direzione si possono avere benissimo parabole ecc.ecc. come direzione in cui la funzione ipoteticamente potrebbe variare più "rapidamente" giusto ?mi trovo un po confuso si questo concetto.
Aspetto risposta grazie mille a tutti quelli che risponderanno
Il gradiente è un vettore la cui direzione è quella che massimizza la derivata parziale direzionale giusto?
In molti libri trovo scritto che il gradiente da la direzione di massima crescita della funzione,nel punto dove viene calcolato.Tuttavia non sono convintissimo di ciò in quanto sono sicuro che il gradiente come gia scritto massimizza la derivata direzionale,tuttavia queste vengono calcolate rispetto ad un retta di direzione data da v con norma unitario.Quindi non è vero che il gradiente indica la direzione di massima crescita della funzione in qualunque direzione,in quanto oltre ad avere le rette come direzione si possono avere benissimo parabole ecc.ecc. come direzione in cui la funzione ipoteticamente potrebbe variare più "rapidamente" giusto ?mi trovo un po confuso si questo concetto.
Aspetto risposta grazie mille a tutti quelli che risponderanno
Risposte
Ciao!
il gradiente soddisfa la relazione $df(x)h = <>$[nota]prodotto scalare tra $nablaf(x)$ e $h$[/nota] no?
Inoltre per le funzioni differenziabili vale $df(x)h=(partialf(x))/(partialh):=lim_(t->0)(f(x+th)-f(x))/t$
allora si ha $abs((partialf(x))/(partialh))=abs(<>)leqnorm(nablaf(x))norm(h)$
dove la disuguaglianza è quella di Cauchy-Schwarz
se consideri che si definisce "direzione" un vettore di norma unitaria, ossia un versore, si ottiene
inoltre questa risulta una uguaglianza se e solo se $h$ e $nablaf(x)$ sono paralleli ovvero
$nablaf(x)=lambdah => abs(lambda)=norm(nablaf(x))$
pertanto si ottiene $h=pm (nablaf(x))/norm(nablaf(x))$
che sono gli unici due vettori che realizzano l'uguaglianza. In particolare con $+$ hai la direzione di massima crescita e con $-$ hai la direzione massima decrescita e la pendenza, o la crescita, è proprio $pm norm(nablaf(x))$
il motivo per cui si prende una classe di preferenza di vettori, le direzioni, risiede nel fatto che la retta tangente non dipende dal vettore scelto. Basta considerare la funzione $varphi(x,y)=(x,y,f(x,y))$
la derivata rispetto a $v=(v_x,v_y)$ sarà
e posto $P=(x,y,f(x,y))$ la retta tangente sarà $P+lambdavarphi_v(x,y)$
se prendi un altro vettore $w in <>$ si avrà $w=lambdav$ con $lambda ne0$ quindi in questo caso la derivata diventa $(tv_x,tv_y,tf_(v)(x,y))=tvarphi_v(x,y)$
quindi
che rappresenta la stessa retta di prima in quanto per ottenere uno stesso punto dell'altra basta considerare $lambda=tmu$
un'altra cosa importante è che una derivata direzionale sembrar giocare brutti scherzi perché sembra poter tendere $+infty$ visto che $(partialf(x))/(partialtv)=<> = t <>$ e questa dipendenza da $t$ può mandare in paranoia.
Ora se è vero che la derivata direzionale rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente rispetto al piano $Oxy$ allora puoi, anche senza fare calcoli, capire che l'angolo che forma con il piano non dipende dal particolare vettore direttore che si usa per rappresentare la retta(a patto che lo prendi di verso concorde, altrimenti ottieni l'angolo opposto)
e quindi hai già due buoni motivi per non focalizzarti sulla scelta del vettore per ragionare in termini geometrici.
il gradiente soddisfa la relazione $df(x)h = <
Inoltre per le funzioni differenziabili vale $df(x)h=(partialf(x))/(partialh):=lim_(t->0)(f(x+th)-f(x))/t$
allora si ha $abs((partialf(x))/(partialh))=abs(<
dove la disuguaglianza è quella di Cauchy-Schwarz
se consideri che si definisce "direzione" un vettore di norma unitaria, ossia un versore, si ottiene
$abs(<>)leqnorm(nablaf(x))$
inoltre questa risulta una uguaglianza se e solo se $h$ e $nablaf(x)$ sono paralleli ovvero
$nablaf(x)=lambdah => abs(lambda)=norm(nablaf(x))$
pertanto si ottiene $h=pm (nablaf(x))/norm(nablaf(x))$
che sono gli unici due vettori che realizzano l'uguaglianza. In particolare con $+$ hai la direzione di massima crescita e con $-$ hai la direzione massima decrescita e la pendenza, o la crescita, è proprio $pm norm(nablaf(x))$
il motivo per cui si prende una classe di preferenza di vettori, le direzioni, risiede nel fatto che la retta tangente non dipende dal vettore scelto. Basta considerare la funzione $varphi(x,y)=(x,y,f(x,y))$
la derivata rispetto a $v=(v_x,v_y)$ sarà
$varphi_v(x,y)=(v_x,v_y,f_v(x,y))$
e posto $P=(x,y,f(x,y))$ la retta tangente sarà $P+lambdavarphi_v(x,y)$
se prendi un altro vettore $w in <
quindi
$P+muvarphi_(w)(x,y)=P+tmuvarphi_(v)(x,y)$
che rappresenta la stessa retta di prima in quanto per ottenere uno stesso punto dell'altra basta considerare $lambda=tmu$
un'altra cosa importante è che una derivata direzionale sembrar giocare brutti scherzi perché sembra poter tendere $+infty$ visto che $(partialf(x))/(partialtv)=<
Ora se è vero che la derivata direzionale rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente rispetto al piano $Oxy$ allora puoi, anche senza fare calcoli, capire che l'angolo che forma con il piano non dipende dal particolare vettore direttore che si usa per rappresentare la retta(a patto che lo prendi di verso concorde, altrimenti ottieni l'angolo opposto)
e quindi hai già due buoni motivi per non focalizzarti sulla scelta del vettore per ragionare in termini geometrici.
Il gradiente è la direzione di piú ripida discesa/ascesa solo in norma 2
Grazie mille a tutti e due per la risposta
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