Significato geometrico dello jacobiano
Sto studiando la formula del cambiamento di variabili negli integrali doppi ed in particolare un ragionamento euristico per comprendere il significato geometrico dello jacobiano.
Sia $ \phi $ l'applicazione che definisce il cambio di coordinate con $ \phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v)) $.
Consideriamo un rettangolo infinitesimo nel piano $ (u,v) $ di area $ dudv $ e vertici
$ A=(u,v)\quadB=(u+du,v)\quadC=(u+du,v+dv)\quadD=(u,v+dv) $
$ \phi $ trasforma tale rettangolo in un poligono a lati curvilinei nel piano $(x,y)$ di vertici
$ \phi(A)=(x(u,v),y(u,v))\quad\phi(B)=((x(u+du,v),y(u+du,v))$
$\phi(C)=(x(u+du,v+dv),y(u+du,v+dv))\quad\phi(D)=(x(u,v+dv),y(u,v+dv)) $
Per $du,dv$ piccoli, tale poligono è ben approssimato da un parallelogramma infinitesimo di lati
$\phi(B)-\phi(A)=(x(u+du,v)-x(u,v),y(u+du,v)-y(u,v))$
$\phi(D)-\phi(A)=(x(u,v+dv)-x(u,v),y(u,v+dv)-y(u,v))$
Da qui si passa alle approssimazioni lineari
$1) x(u+du,v)-x(u,v)\approxx_u(u,v)du$
$2) x(u,v+dv)-x(u,v)\approxx_v(u,v)dv$
$3) y(u+du,v)-y(u,v)\approxy_u(u,v)du$
$4) y(u,v+dv)-y(u,v)\approxy_v(u,v)dv$
Dubbio 1: la validità di tali approssimazioni richiede la semplice derivabilità delle funzioni $x(u,v)$,$y(u,v)$, oppure la più forte condizione di differenziabilità (garantita dal fatto che $\phi$ è di classe $C^1$)?
In ognuno dei quattro casi posso individuare una funzione di una variabile reale che, se derivabile, permette l'approssimazione. Ad esempio:
$1) x(u+du,v)-x(u,v)=f(u+du)-f(u)\approxf_u(u)du$
e così via per la 2,3,4. D'altra parte, se, ad esempio, $x(u,v)$ è differenziabile, allora
$x(u+du,v+dv)-x(u,v)\approxx_u(u,v)du+x_v(u,v)dv$
e per $dv=0$ si ottiene la 1 e per $du=0$ si ottiene la 2.
Quindi va bene la derivabilità? la differenziabilità? sono equivalenti in termini di tale approssimazione?
Proseguendo nel ragionamento si arriva a calcolare l'area del parallelogramma come modulo del prodotto vettoriale tra $\phi(B)-\phi(A)$ e $\phi(D)-\phi(A)$ e trovo scritto
$ dxdy=\abs(det\frac[\delta(x,y)][\delta(u,v)])dudv $
Dubbio 2: perchè quel $dxdy$? l'area del rettangolo nel piano $(u,v)$ è ovviamente $dudv$. Perchè quella del parallelogramma nel piano $(x,y)$ è $dxdy$? E' solo un simbolo?
Grazie mille
Sia $ \phi $ l'applicazione che definisce il cambio di coordinate con $ \phi(u,v)=(x(u,v),y(u,v)) $.
Consideriamo un rettangolo infinitesimo nel piano $ (u,v) $ di area $ dudv $ e vertici
$ A=(u,v)\quadB=(u+du,v)\quadC=(u+du,v+dv)\quadD=(u,v+dv) $
$ \phi $ trasforma tale rettangolo in un poligono a lati curvilinei nel piano $(x,y)$ di vertici
$ \phi(A)=(x(u,v),y(u,v))\quad\phi(B)=((x(u+du,v),y(u+du,v))$
$\phi(C)=(x(u+du,v+dv),y(u+du,v+dv))\quad\phi(D)=(x(u,v+dv),y(u,v+dv)) $
Per $du,dv$ piccoli, tale poligono è ben approssimato da un parallelogramma infinitesimo di lati
$\phi(B)-\phi(A)=(x(u+du,v)-x(u,v),y(u+du,v)-y(u,v))$
$\phi(D)-\phi(A)=(x(u,v+dv)-x(u,v),y(u,v+dv)-y(u,v))$
Da qui si passa alle approssimazioni lineari
$1) x(u+du,v)-x(u,v)\approxx_u(u,v)du$
$2) x(u,v+dv)-x(u,v)\approxx_v(u,v)dv$
$3) y(u+du,v)-y(u,v)\approxy_u(u,v)du$
$4) y(u,v+dv)-y(u,v)\approxy_v(u,v)dv$
Dubbio 1: la validità di tali approssimazioni richiede la semplice derivabilità delle funzioni $x(u,v)$,$y(u,v)$, oppure la più forte condizione di differenziabilità (garantita dal fatto che $\phi$ è di classe $C^1$)?
In ognuno dei quattro casi posso individuare una funzione di una variabile reale che, se derivabile, permette l'approssimazione. Ad esempio:
$1) x(u+du,v)-x(u,v)=f(u+du)-f(u)\approxf_u(u)du$
e così via per la 2,3,4. D'altra parte, se, ad esempio, $x(u,v)$ è differenziabile, allora
$x(u+du,v+dv)-x(u,v)\approxx_u(u,v)du+x_v(u,v)dv$
e per $dv=0$ si ottiene la 1 e per $du=0$ si ottiene la 2.
Quindi va bene la derivabilità? la differenziabilità? sono equivalenti in termini di tale approssimazione?
Proseguendo nel ragionamento si arriva a calcolare l'area del parallelogramma come modulo del prodotto vettoriale tra $\phi(B)-\phi(A)$ e $\phi(D)-\phi(A)$ e trovo scritto
$ dxdy=\abs(det\frac[\delta(x,y)][\delta(u,v)])dudv $
Dubbio 2: perchè quel $dxdy$? l'area del rettangolo nel piano $(u,v)$ è ovviamente $dudv$. Perchè quella del parallelogramma nel piano $(x,y)$ è $dxdy$? E' solo un simbolo?
Grazie mille
Risposte
Ciao TS778LB,
Rispondo per il dubbio 2...
Se $\Omega $ è un insieme aperto di $\RR^2 $ ed indichiamo con $\phi : \Omega \subset \RR^2 \rarr \RR^2 $ una funzione che realizza il cambiamento di variabili da $(x,y)$ a $(u,v)$, ossia esplicitamente
$ (u, v) \mapsto (x(u, v), y(u, v)) $ con $ u, v \in \Omega $
e supponiamo che $\phi $ sia biunivoca tra $\Omega $ e $\phi(\Omega) $ e che le sue componenti $x(u, v), y(u, v) \in C^1 (\Omega) $, ovvero siano continue con le derivate parziali continue in $\Omega $, l'area $A$ di un dominio $D$ limitato da una curva semplice chiusa $C$ è data da
$A = \int \int_D \text{d}x \text{d}y = \int \int_{D^{\prime}}\abs(\frac[\del(x,y)][\del(u,v)]) \text{d}u \text{d}v $
ove $D' = \phi^{-1}(D) $ e
$ \abs(\frac[\del(x,y)][\del(u,v)]) = det[J_{\phi(u, v)}] = |(\grad x(u,v)),(\grad y(u,v))| = |((\del x)/(del u),(\del x)/(del v)),((\del y)/(del u),(\del y)/(del v))| \ne 0 $ per ogni funzione $(u,v) \in \Omega $
Rispondo per il dubbio 2...
Se $\Omega $ è un insieme aperto di $\RR^2 $ ed indichiamo con $\phi : \Omega \subset \RR^2 \rarr \RR^2 $ una funzione che realizza il cambiamento di variabili da $(x,y)$ a $(u,v)$, ossia esplicitamente
$ (u, v) \mapsto (x(u, v), y(u, v)) $ con $ u, v \in \Omega $
e supponiamo che $\phi $ sia biunivoca tra $\Omega $ e $\phi(\Omega) $ e che le sue componenti $x(u, v), y(u, v) \in C^1 (\Omega) $, ovvero siano continue con le derivate parziali continue in $\Omega $, l'area $A$ di un dominio $D$ limitato da una curva semplice chiusa $C$ è data da
$A = \int \int_D \text{d}x \text{d}y = \int \int_{D^{\prime}}\abs(\frac[\del(x,y)][\del(u,v)]) \text{d}u \text{d}v $
ove $D' = \phi^{-1}(D) $ e
$ \abs(\frac[\del(x,y)][\del(u,v)]) = det[J_{\phi(u, v)}] = |(\grad x(u,v)),(\grad y(u,v))| = |((\del x)/(del u),(\del x)/(del v)),((\del y)/(del u),(\del y)/(del v))| \ne 0 $ per ogni funzione $(u,v) \in \Omega $
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