Significato geometrico delle derivate seconde miste?
In ambito delle funzioni di 2 variabili, dato un punto P $(x_0,y_0)$ ho capito che le derivate parziali sono 2 e quindi le derivate seconde sono 4 etc..
Come in 2D la derivata 2^ dovrebbe indicare la curvatura, quindi più è alto un valore
e più il grafico si curva appunto; immagino che dato il punto P le derivate seconde "xx" e "yy" siano appunto le curvature del grafico nelle direzioni dell'asse x e y; ma le derivate miste "xy/yx" precisamente cosa sarebbero?
Anche perchè per esempio con un paraboloide $z=x^2+y^2$ esse risultano zero. Ma cos'è che vale zero, la curvatura lungo la bisettrice y=x? Quello non mi pare
EDIT forse meglio dire "concavità/convessità" più che curvatura, comunque in breve mi sto chiedendo dove si vede questo valore; nell'esempio del paraboloide non vedo assolutamente nulla di rettilineo sezionando con alcun piano; invece in una $f(x,y)=x^2$ le derivate miste "xy/yx" risultano zero e mi fa più senso perchè sezionando con piani $x=k$ risultano tante rette parallele all'asse y, e quindi ok, "scorrendo lungo l'asse x" e guardando nella direzione dell'asse y non c'è curvatura. Cosa c'è di diverso quindi nel caso del paraboloide?
Come in 2D la derivata 2^ dovrebbe indicare la curvatura, quindi più è alto un valore
e più il grafico si curva appunto; immagino che dato il punto P le derivate seconde "xx" e "yy" siano appunto le curvature del grafico nelle direzioni dell'asse x e y; ma le derivate miste "xy/yx" precisamente cosa sarebbero?
Anche perchè per esempio con un paraboloide $z=x^2+y^2$ esse risultano zero. Ma cos'è che vale zero, la curvatura lungo la bisettrice y=x? Quello non mi pare
EDIT forse meglio dire "concavità/convessità" più che curvatura, comunque in breve mi sto chiedendo dove si vede questo valore; nell'esempio del paraboloide non vedo assolutamente nulla di rettilineo sezionando con alcun piano; invece in una $f(x,y)=x^2$ le derivate miste "xy/yx" risultano zero e mi fa più senso perchè sezionando con piani $x=k$ risultano tante rette parallele all'asse y, e quindi ok, "scorrendo lungo l'asse x" e guardando nella direzione dell'asse y non c'è curvatura. Cosa c'è di diverso quindi nel caso del paraboloide?
Risposte
In realtá le derivate seconde miste "non esistono", nel senso che non possono avere un significato geometrico.
Per spiegarmi considero una funzione $f: mathbb R^2 o mathbb R$ di classe $C^2$. In ogni punto del piano, la matrice Hessiana di $f$ é simmetrica. Ma allora, per il teorema spettrale, esiste un sistema di riferimento ortogonale rispetto alla quale essa é diagonale. Questo significa che, rispetto a questo sistema di riferimento, le derivate seconde miste sono nulle. (Attenzione: tale riferimento rende diagonale la matrice Hessiana nel punto considerato. Non é detto che lo stesso sistema di riferimento diagonalizzi la matrice Hessiana in altri punti).
Ora, qualsiasi grandezza "geometrica" deve essere indipendente dalla scelta di un sistema di coordinate. Il ragionamento precedente ci mostra che cosí non é per le derivate seconde miste.
Per ulteriori informazioni:
https://math.stackexchange.com/a/483890/8157
Per spiegarmi considero una funzione $f: mathbb R^2 o mathbb R$ di classe $C^2$. In ogni punto del piano, la matrice Hessiana di $f$ é simmetrica. Ma allora, per il teorema spettrale, esiste un sistema di riferimento ortogonale rispetto alla quale essa é diagonale. Questo significa che, rispetto a questo sistema di riferimento, le derivate seconde miste sono nulle. (Attenzione: tale riferimento rende diagonale la matrice Hessiana nel punto considerato. Non é detto che lo stesso sistema di riferimento diagonalizzi la matrice Hessiana in altri punti).
Ora, qualsiasi grandezza "geometrica" deve essere indipendente dalla scelta di un sistema di coordinate. Il ragionamento precedente ci mostra che cosí non é per le derivate seconde miste.
Per ulteriori informazioni:
https://math.stackexchange.com/a/483890/8157
In realtá le derivate seconde miste "non esistono", nel senso che non possono avere un significato geometrico.
Per spiegarmi considero una funzione $f: \mathbb R^2\to \mathbb R$ di classe $C^2$. In ogni punto del piano, la matrice Hessiana di $f$ é simmetrica. Ma allora, per il teorema spettrale, esiste un sistema di riferimento ortogonale rispetto alla quale essa é diagonale. Questo significa che, rispetto a questo sistema di riferimento, le derivate seconde miste sono nulle. (Attenzione: tale riferimento rende diagonale la matrice Hessiana nel punto considerato. Non é detto che lo stesso sistema di riferimento diagonalizzi la matrice Hessiana in altri punti).
Ora, qualsiasi grandezza "geometrica" deve essere indipendente dalla scelta di un sistema di coordinate. Il ragionamento precedente ci mostra che cosí non é per le derivate seconde miste.
Per ulteriori informazioni:
https://math.stackexchange.com/a/483890/8157
Per spiegarmi considero una funzione $f: \mathbb R^2\to \mathbb R$ di classe $C^2$. In ogni punto del piano, la matrice Hessiana di $f$ é simmetrica. Ma allora, per il teorema spettrale, esiste un sistema di riferimento ortogonale rispetto alla quale essa é diagonale. Questo significa che, rispetto a questo sistema di riferimento, le derivate seconde miste sono nulle. (Attenzione: tale riferimento rende diagonale la matrice Hessiana nel punto considerato. Non é detto che lo stesso sistema di riferimento diagonalizzi la matrice Hessiana in altri punti).
Ora, qualsiasi grandezza "geometrica" deve essere indipendente dalla scelta di un sistema di coordinate. Il ragionamento precedente ci mostra che cosí non é per le derivate seconde miste.
Per ulteriori informazioni:
https://math.stackexchange.com/a/483890/8157
"dissonance":
In realtá le derivate seconde miste "non esistono"
...
Che bella risposta
Grazie Fioravante! Sono contento che ti piaccia. Ho avuto buoni maestri, come te.
E nei casi in cui l'hessiana non è simmetrica come la mettiamo? 
Eh, me lo sono chiesto per anni. Poi ho trovato questo:
https://math.stackexchange.com/question ... ian-matrix
Non ho la minima idea di come si dimostri, ma c'è un articolo sovietico degli anni '40 che prova la cosa seguente; se una funzione \(f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R\) è derivabile due volte in ogni punto, allora la matrice Hessiana è simmetrica quasi ovunque. Quindi richiedere la simmetria dell'Hessiana non è molto forte. D'altra parte, le derivate che entrano realmente in gioco nell'analisi delle equazioni differenziali sono quelle distribuzionali, non quelle classiche; ora, per le derivate distribuzionali la matrice Hessiana è sempre simmetrica.
In conclusione, è vero che esistono esempi di matrici Hessiane non simmetriche, ma si tratta di patologie da escludere in generale.
https://math.stackexchange.com/question ... ian-matrix
Non ho la minima idea di come si dimostri, ma c'è un articolo sovietico degli anni '40 che prova la cosa seguente; se una funzione \(f\colon \mathbb R^2\to \mathbb R\) è derivabile due volte in ogni punto, allora la matrice Hessiana è simmetrica quasi ovunque. Quindi richiedere la simmetria dell'Hessiana non è molto forte. D'altra parte, le derivate che entrano realmente in gioco nell'analisi delle equazioni differenziali sono quelle distribuzionali, non quelle classiche; ora, per le derivate distribuzionali la matrice Hessiana è sempre simmetrica.
In conclusione, è vero che esistono esempi di matrici Hessiane non simmetriche, ma si tratta di patologie da escludere in generale.
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