Significato geometrico della derivata
La derivata di f(x) è il coefficiente angolare della retta tangente alla funzione in x.
Dunque per trovare la derivata innanzitutto, dati due punti del grafico della funzione $P_0=(x_0, f(x_0))$, $P=(x_0+h, f(x_0+h))$, si calcola, passante per questi due punti, la retta secante il grafico della funzione. Di seguito si calcola il limite per h tendente a zero e si trova la retta tangente il grafico della funzione.
L'equazione di una retta generica è $y=mx+q$, quindi imponiamo che la retta passi per $P_0$ e $P$:
$\{(f(x_0)=mx_0 + q,text{condizione di passaggio per P_0}),(f(x_0+h)=m(x_0 + h) + q,text{condizione di passaggio per P}):}$
Si deve risolvere il sistema per trovare le incognite $m$ e $q$
Si ricava facilmente che:
$m= (f(x_0+h)-f(x_0)+mx(0))/(x_0+h)$
$(f(x_0+h)-f(x_0)-mh)/(x_0+h)=0$
$m= (f(x_0 + h)-f(x0))/h$ che va bene perché è il rapporto incrementale e facendone il limite è la derivata di f(x).
Ora però dovrei calcolare $q$ ma non riesco a trovare la soluzione...
il risultato finale dovrebbe essere $y=f(x_0) + (f(x_0 + h) - f(x_0))/h (x-x_0)$
Ecco, se poteste spiegarmi come ottenere $q=f(x_0)$, giacche non riesco a risolvere il sistema nell'incognita q e soprattutto $x=(x-x_0)$
Grazie
Dunque per trovare la derivata innanzitutto, dati due punti del grafico della funzione $P_0=(x_0, f(x_0))$, $P=(x_0+h, f(x_0+h))$, si calcola, passante per questi due punti, la retta secante il grafico della funzione. Di seguito si calcola il limite per h tendente a zero e si trova la retta tangente il grafico della funzione.
L'equazione di una retta generica è $y=mx+q$, quindi imponiamo che la retta passi per $P_0$ e $P$:
$\{(f(x_0)=mx_0 + q,text{condizione di passaggio per P_0}),(f(x_0+h)=m(x_0 + h) + q,text{condizione di passaggio per P}):}$
Si deve risolvere il sistema per trovare le incognite $m$ e $q$
Si ricava facilmente che:
$m= (f(x_0+h)-f(x_0)+mx(0))/(x_0+h)$
$(f(x_0+h)-f(x_0)-mh)/(x_0+h)=0$
$m= (f(x_0 + h)-f(x0))/h$ che va bene perché è il rapporto incrementale e facendone il limite è la derivata di f(x).
Ora però dovrei calcolare $q$ ma non riesco a trovare la soluzione...
il risultato finale dovrebbe essere $y=f(x_0) + (f(x_0 + h) - f(x_0))/h (x-x_0)$
Ecco, se poteste spiegarmi come ottenere $q=f(x_0)$, giacche non riesco a risolvere il sistema nell'incognita q e soprattutto $x=(x-x_0)$
Grazie
Risposte
Usa la formula del fascio di rette per un punto: $y - y_P = m ( x - x_P )$ , laddove $P (x_0 , f(x_0) )$.
Allora hai: $y - f(x_0) = (f(x_0 + h ) - f(x_0))/h * ( x - x_0 )$
Allora hai: $y - f(x_0) = (f(x_0 + h ) - f(x_0))/h * ( x - x_0 )$
Non viene $q=f(x_0)$ per ogni $h$ perché la quota della secante dipende da $h$. In ogni caso devi solo risolvere un banale sistema lineare in $m$ e $q$.
risolvendo il sistema non riesco a ottenere il risultato finale, comunque grazie per l'aiuto
Prima superiore... viene $q=f(x_0)-x_0(f(x_0+h)-f(x_0))/h$.
Si, ho riguardato, non ci sono scuse...è che il risultato l'avevo trovato anche io ma non essendomi accorto di poter semplificare con $m$ dopo averglielo sommato avevo fatto una serie di raccoglimenti etc...
ciao ragazzi! anche io ho lo stesso problema con questo sistema! potete spiegarmi come si trova q e perchè è (x-x0)? potete scrivere i passaggi? grazie tra una settimana ho l'esame!!!!
Ma non ho capito perchè vi impelagate con questo sistema...
Esiste una meniera semplicissima di scrivere l'equazione della retta passante per due punti ed è la prima formula che si studia in Geometria Analitica alle superiori.
Esiste una meniera semplicissima di scrivere l'equazione della retta passante per due punti ed è la prima formula che si studia in Geometria Analitica alle superiori.
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