Significato geometrico degli integrali mutlipli
Riguardo integrali doppi e tripli... li so risolvere, nn ho problemi, ma cosa trovo? Con l'integrale doppio trovo il volume sotteso da una superficie nello spazio e con il triplo i volume di un solido?
Risposte
Difficile dire cosa rappresenti un integrale triplo del tipo [tex]$\iiint_A f(x,y,z)\ \text{d}x\ \text{d}y\ \text{d}z$[/tex], perchè la mente umana non riesce a visualizzare insiemi di uno spazio qadridimensionale.
Invero, così come l'integrale di una funzione di una variabile è l'area sottesa al suo grafico e l'integrale di una funzione di due variabili è il volume sotteso al suo grafico, l'integrale di una funzione di tre variabili è la "misura" della regione sottesa al grafico dell'integrando; però tale regione si trova in uno spazio a quattro dimensioni che non è rappresentabile in maniera efficace.
Tuttavia l'integrale triplo delle funzioni costanti ha una semplice interpretazione geometrica che viene dall'identità [tex]$\text{vol} (A)=\iiint_A\ \text{d}x\ \text{d}y\ \text{d}z$[/tex]: infatti si ha:
[tex]$\iiint_A c\ \text{d}x\ \text{d}y\ \text{d}z =c\iiint_A\ \text{d}x\ \text{d}y\ \text{d}z =c\ \text{vol} (A) = \text{vol} (\sqrt[3]{c}\ A)$[/tex],
ove con [tex]$\sqrt[3]{c}\ A$[/tex] si denota la regione di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] omotetica ad [tex]$A$[/tex] di un fattore [tex]$\sqrt[3]{c}$[/tex], ossia:
[tex]$\sqrt[3]{c}\ A :=\{ (\sqrt[3]{c}\ x,\sqrt[3]{c}\ y,\sqrt[3]{c}\ z),\ \text{con $(x,y,z)\in A$}\}$[/tex].
In altre parole, l'integrale di una funzione costante esteso ad una regione [tex]$A$[/tex] è la misura del volume di una regione omotetica ad [tex]$A$[/tex].
Invero, così come l'integrale di una funzione di una variabile è l'area sottesa al suo grafico e l'integrale di una funzione di due variabili è il volume sotteso al suo grafico, l'integrale di una funzione di tre variabili è la "misura" della regione sottesa al grafico dell'integrando; però tale regione si trova in uno spazio a quattro dimensioni che non è rappresentabile in maniera efficace.
Tuttavia l'integrale triplo delle funzioni costanti ha una semplice interpretazione geometrica che viene dall'identità [tex]$\text{vol} (A)=\iiint_A\ \text{d}x\ \text{d}y\ \text{d}z$[/tex]: infatti si ha:
[tex]$\iiint_A c\ \text{d}x\ \text{d}y\ \text{d}z =c\iiint_A\ \text{d}x\ \text{d}y\ \text{d}z =c\ \text{vol} (A) = \text{vol} (\sqrt[3]{c}\ A)$[/tex],
ove con [tex]$\sqrt[3]{c}\ A$[/tex] si denota la regione di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] omotetica ad [tex]$A$[/tex] di un fattore [tex]$\sqrt[3]{c}$[/tex], ossia:
[tex]$\sqrt[3]{c}\ A :=\{ (\sqrt[3]{c}\ x,\sqrt[3]{c}\ y,\sqrt[3]{c}\ z),\ \text{con $(x,y,z)\in A$}\}$[/tex].
In altre parole, l'integrale di una funzione costante esteso ad una regione [tex]$A$[/tex] è la misura del volume di una regione omotetica ad [tex]$A$[/tex].
ti ringrazio!
"gugo82":
però tale regione si trova in uno spazio a quattro dimensioni che non è rappresentabile in maniera efficace.
Direi che non è rappresentabile proprio. Neanche in maniera "poco efficace". !!
Beh, di insiemi discreti quadridimensionali esistono varie rappresentazioni (ad esempio, esistono rappresentazioni dei vertici dell'ipercubo); purtroppo lo stesso non si può dire di insiemi continui, dei quali la rappresentazione, in effetti, manca totalmente.*
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* Anche se si potrebbe considerare la realtà fisica come rappresentazione di uno spazio quadridimensionale... Però meglio non avventurarsi in questi territori.
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* Anche se si potrebbe considerare la realtà fisica come rappresentazione di uno spazio quadridimensionale... Però meglio non avventurarsi in questi territori.
[mod="Paolo90"]@fabio88: per piacere, puoi mettere un titolo più esplicativo e un po' meno generico? Ti ringrazio. 
[/mod]
[/mod]
"gugo82":
* Anche se si potrebbe considerare la realtà fisica come rappresentazione di uno spazio quadridimensionale... Però meglio non avventurarsi in questi territori.
E' be sì, è tutto un gioco di proiezioni. la realtà fisica potrebbe essere pensata come la "fotografia" di una realtà quadridimensionale, che a sua volta è "fotografia" di una realtà cinque-dimensionale e così all'infinito..
Dico "fotografia" solo per analogia, dal momento che quando facciamo una foto allo spazio tridimensionale, nella foto ci troveremo,in realtà, lo spazio bidimensionale di ciò che abbiamo ripreso..
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