Significato differenzaibilità
salve 
c'è qualcuno che mi spieghi ben benino il concetto di differenziabilità per una funzione di due variabili in un punto a livello grafico? magari con qualche bel grafico 
così per vedere se ho capito bene il concetto
c'è qualcuno che mi spieghi ben benino il concetto di differenziabilità per una funzione di due variabili in un punto a livello grafico? magari con qualche bel grafico così per vedere se ho capito bene il concetto
Risposte
quando dici che una funzione di due varibili è differenziabile in un punto, sostanzialmente, dici tre cose:
1) La funzione ammette derivate direzionali (lungo ogni direzione),in quel punto.
2) La funzione è continua nel punto.
3) La funzione ammette il piano tangente nel punto.
Ricorda che derivabilità [tex]\not=[/tex] differenziabilità.
Ricorda anche che derivabilità in un punto [tex]\not\Rightarrow[/tex] continuità nel punto (per dire questo ci vuole, appunto, differenziabilità nel punto)
cosa ti crea dubbi?
Se ti interessa, posso aiutarti a dimostrare tutto ciò.
1) La funzione ammette derivate direzionali (lungo ogni direzione),in quel punto.
2) La funzione è continua nel punto.
3) La funzione ammette il piano tangente nel punto.
Ricorda che derivabilità [tex]\not=[/tex] differenziabilità.
Ricorda anche che derivabilità in un punto [tex]\not\Rightarrow[/tex] continuità nel punto (per dire questo ci vuole, appunto, differenziabilità nel punto)
cosa ti crea dubbi?
Se ti interessa, posso aiutarti a dimostrare tutto ciò.
volevo delle conferme a ciò che avevo capito mmm io avevo capito che,detta in maniera semplice,una funzione di due variabili si dice differenziabile in un punto $ P0(x0,y0) $ se ammette un piano tangente al grafico nel dato punto e $ lim_((x,y) -> x0,y0) (f(x,y)-(f(x0,y0)+a(x-x0)+b(y-y0) ))/(sqrt((x-x0)^(2)+(y-y0)^(2)))=0 $ cioè il piano tangente approssima al meglio il grafico nell'intorno del punto 
questo dovrebbe essere dimostrato dal fatto che dato il risultato dell'operazione di limite la distanza del piano dal grafico valutato nel punto sia uno $ 0 $ più grande della distanza del punto dall'origine
dico bene?? quello che mi confonde è il perchè io debba confrontare la distanza del piano dal grafico con la distanza euclidea del punto dalle origini
PS. spero si sia capito qualcosa eheh
questo dovrebbe essere dimostrato dal fatto che dato il risultato dell'operazione di limite la distanza del piano dal grafico valutato nel punto sia uno $ 0 $ più grande della distanza del punto dall'origine dico bene?? quello che mi confonde è il perchè io debba confrontare la distanza del piano dal grafico con la distanza euclidea del punto dalle origini
PS. spero si sia capito qualcosa eheh
attento quelle che hai (in parte) detto sono condizioni sufficienti che ti permettono di concludere sulla differenziabilità nel punto.
Cioè esse sono:
1) la funzione è derivabile nel punto
2) Esiste ed è uguale a zero quel limite che hai scritto (suppongo che con [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex], vuoi indicare le derivate parziali rispetto a [tex]$x$[/tex] e [tex]$y$[/tex].)
Il fatto che il piano tangente approssimi al meglio il grafico necessita di un paio di considerazioni:
Partiamo dall'ipotesi che la funzione sia differenziabile nel punto, quindi, necessariamente deve accadere che:
[tex]$lim_{(x,y) -> x_0,y_0} \frac{f(x,y)- f(x0,y0) - f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x0)-f_y(x_0,y_0) \cdot(y-y0) }{\sqrt{(x-x0)^2+(y-y0)^2}} =0$[/tex]
Poichè si tratta del rapporto di due infinitesimi, che va a [tex]$0$[/tex], significa che il numeratore è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto al denominatore, cioè:
[tex]$f(x,y)- f(x0,y0) - f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x0)-f_y(x_0,y_0) \cdot(y-y0) = o(\sqrt{(x-x0)^2+(y-y0)^2})$[/tex]
ora,lascio solo il primo termine al primo membro, tutto il resto lo porto al secondo:
[tex]$f(x,y) = f(x0,y0) + f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x0) + f_y(x_0,y_0) \cdot(y-y0) + o(\sqrt{(x-x0)^2+(y-y0)^2})$[/tex]
Cioè [tex]f(x,y)[/tex] può essere così approssimato:
[tex]$f(x,y) \sim \ f(x0,y0) + f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x0) + f_y(x_0,y_0) \cdot(y-y0) $[/tex]
Quella che sta al secondo membro, se ci fai caso, è proprio l'equazione del piano tangente nel punto di coordinate [tex]$(x_0,y_0)$[/tex].
Cioè esse sono:
1) la funzione è derivabile nel punto
2) Esiste ed è uguale a zero quel limite che hai scritto (suppongo che con [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex], vuoi indicare le derivate parziali rispetto a [tex]$x$[/tex] e [tex]$y$[/tex].)
Il fatto che il piano tangente approssimi al meglio il grafico necessita di un paio di considerazioni:
Partiamo dall'ipotesi che la funzione sia differenziabile nel punto, quindi, necessariamente deve accadere che:
[tex]$lim_{(x,y) -> x_0,y_0} \frac{f(x,y)- f(x0,y0) - f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x0)-f_y(x_0,y_0) \cdot(y-y0) }{\sqrt{(x-x0)^2+(y-y0)^2}} =0$[/tex]
Poichè si tratta del rapporto di due infinitesimi, che va a [tex]$0$[/tex], significa che il numeratore è un infinitesimo di ordine maggiore rispetto al denominatore, cioè:
[tex]$f(x,y)- f(x0,y0) - f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x0)-f_y(x_0,y_0) \cdot(y-y0) = o(\sqrt{(x-x0)^2+(y-y0)^2})$[/tex]
ora,lascio solo il primo termine al primo membro, tutto il resto lo porto al secondo:
[tex]$f(x,y) = f(x0,y0) + f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x0) + f_y(x_0,y_0) \cdot(y-y0) + o(\sqrt{(x-x0)^2+(y-y0)^2})$[/tex]
Cioè [tex]f(x,y)[/tex] può essere così approssimato:
[tex]$f(x,y) \sim \ f(x0,y0) + f_x(x_0,y_0) \cdot (x-x0) + f_y(x_0,y_0) \cdot(y-y0) $[/tex]
Quella che sta al secondo membro, se ci fai caso, è proprio l'equazione del piano tangente nel punto di coordinate [tex]$(x_0,y_0)$[/tex].
Se la funzione è differenziabile in $(x_0,y_0) $ vuol dire che l'incremento della funzione $f(x,y ) $ è uguale all'incremento calcolato lungo il piano tangente più un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza dell'incremento delle variabili indipendenti.
*L'incremento totale della funzione è $ f(x,y)-f(x_0,y_0) $ che sono i primi due addendi della formula che hai scritto.
*L'incremento della funzione lungo il piano tangente è dato dal terzo e quarto addendo che tu hai scritto come $a(x-x_0)+b(y-y_0) $ , anzi più precisamente valgono $ f_x(x-x_0) +f_y(y-y_0) $ .
* quindi quello che resta nel tuo numeratore è l'errore che si commette valutando l'incremento di $ f $ come incremento lungo il piano tangente.
Perchè la funzione sia differenziabile bisogna che questo " errore " sia un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza dell'incremento, lunghezza che vale $ sqrt((x-x_0)^2 +(y-y_0)^2) $ .
Ecco perchè si impone che $lim_(x,y rarr x_0,y_0 ) "errore" /sqrt((x-x_0)^2 +(y-y_0)^2)=0$ che vuol proprio dire che l'errore deve esere un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza dell'incremento.
OK ?
*L'incremento totale della funzione è $ f(x,y)-f(x_0,y_0) $ che sono i primi due addendi della formula che hai scritto.
*L'incremento della funzione lungo il piano tangente è dato dal terzo e quarto addendo che tu hai scritto come $a(x-x_0)+b(y-y_0) $ , anzi più precisamente valgono $ f_x(x-x_0) +f_y(y-y_0) $ .
* quindi quello che resta nel tuo numeratore è l'errore che si commette valutando l'incremento di $ f $ come incremento lungo il piano tangente.
Perchè la funzione sia differenziabile bisogna che questo " errore " sia un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza dell'incremento, lunghezza che vale $ sqrt((x-x_0)^2 +(y-y_0)^2) $ .
Ecco perchè si impone che $lim_(x,y rarr x_0,y_0 ) "errore" /sqrt((x-x_0)^2 +(y-y_0)^2)=0$ che vuol proprio dire che l'errore deve esere un infinitesimo di ordine superiore rispetto alla lunghezza dell'incremento.
OK ?
mmm grazie per la risposta comunque sono un'pò confuso perchè il libro dal quale stò studiando mi aveva fatto capire dell'altro vedrò un'pò di rivedere il tutto 
avevo capito che al numeratore avevo la differenza tra la funzione valutata nel punto e l'equazione del piano tangente nel punto forse un'pò per la mia ignoranza un'pò per la superficialità del libro mi son confuso e fuso
comunque sono un'pò confuso perchè il libro dal quale stò studiando mi aveva fatto capire dell'altro vedrò un'pò di rivedere il tutto avevo capito che al numeratore avevo la differenza tra la funzione valutata nel punto e l'equazione del piano tangente nel punto forse un'pò per la mia ignoranza un'pò per la superficialità del libro mi son confuso e fuso
Propongo un esercizio svolto che dovrebbe aiutare nella comprensione del concetto di differenziabilità di una funzione in un punto.
Si considerano due modi differenti ( operativamente validi ) per verificare la differenziabilità :
a) Secondo la definizione per cui deve risultare
$lim_(x,y rarr x_0,y_0) [f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)]/sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) =0 $ .
b) tramite la condizione sufficiente di differenziabilità per la quale se le derivate parziali di $ f $ esistono in un intorno di $(x_0,y_0) $ e sono continue in $ (x_0,y_0)$ allora $f $ è differenziabile in $(x_0,y_0)$.
La funzione di cui verificare la differenziabilità nell’origine con i due metodi è così definita :
$f(x.,y)= (xy^3)/(x^2+y^2) $ per $(x,y) ne (0,0)$
$f(x,y)=0 $ per $ (x,y)=(0,0) $.
a)Soluzione ; è $ f(0,0)=0 $
$f_x,f_y $ nell’origine vanno calcolate con la definizione di derivata parziale , come limite del rapporto incrementale, ad evitare forme indeterminate .
Si ha quindi :
$f_x(0,0)= lim_(x rarr 0) [f(x,0)-f(0,0)]/x = lim_(x rarr 0) [0-0]/x =0 $
$f_y(0,0)=lim_(y rarr 0) [f(0,y)-f(0,0)]/y = 0$.
Calcoliamo ora finalmente
$lim_(x,y rarr 0,0) [f(x,y)-0-0-0]/sqrt(x^2+y^2) =lim_(x,y rarr 0,0) (xy^3)/(x^2+y^2)^(3/2) $.
Per calcolare il limite passo a coordinate polari $(x= rho cos theta, y= rho sen theta)$
$ (xy^3)/(x^2+y^2)^(3/2)= [rho^4 cos theta*sin ^3 theta]/rho^3 = rho cos theta sin ^3 theta $.
Maggioro così :
$|(xy^3)/(x^2+y^2)^(3/2)| = rho|cos theta sin^3 theta| <= rho $, essendo $|cos theta sin^3 theta|<=1 $.
La funzione $ (xy^3)/(x^2+y^2)^(3/2)$ è quindi compresa tra $0 $ e $ rho $ , ma $rho rarr 0 $ e quindi anche la funzione $ rarr 0 $ ; il limite vale quindi $0 $ e la funzione $f(x,y ) $ è differenziabile nell’origine ed è quindi dotata di piano tangente nell’origine.
b) Soluzione – Calcolo $f_x =[y^5-x^2y^3]/(x^2+y^2)^2 $ .
Va ora verificato se $f_x, f_y $ sono continue nell’origine per poter applicare la condizione sufficiente.
Dal punto a ) si sa che $f_x(0,0)=f_y(0,0)= 0 $ .
Calcolo allora $lim_(x,y rarr 0,0) [y^5-x^2y^3]/(x^2+y^2)^2 $ e verifico se vale $0 $.
Passo a coordinate polari e ottengo $[rho^5sin^5 theta-rho^5cos^2theta*sin^3theta]/rho^4 =rho[-sin^3theta(cos^2theta-sin^2 theta)]= rho[-sin^3theta* cos (2 theta)]$.
Maggioro così : $|[y^5-x^2y^3]/(x^2+y^2)^2|= rho|[-sin^3theta cos (2 theta)]|<= rho $.; quindi con considerazioni analoghe a quelle del punto precedente si ha che il limite cercato è $0 $; di conseguenza $f_x $ è continua nell’origine.
Analoghi calcoli portano a confermare che anche $f_y $ è continua nell’origine.
La condizione sufficiente di differenziabilità ( derivate parziali continue nell’origine ) ci porta a concludere che la funzione è differenziabile nell’origine.
Si considerano due modi differenti ( operativamente validi ) per verificare la differenziabilità :
a) Secondo la definizione per cui deve risultare
$lim_(x,y rarr x_0,y_0) [f(x,y)-f(x_0,y_0)-f_x(x_0,y_0)(x-x_0)-f_y(x_0,y_0)(y-y_0)]/sqrt((x-x_0)^2+(y-y_0)^2) =0 $ .
b) tramite la condizione sufficiente di differenziabilità per la quale se le derivate parziali di $ f $ esistono in un intorno di $(x_0,y_0) $ e sono continue in $ (x_0,y_0)$ allora $f $ è differenziabile in $(x_0,y_0)$.
La funzione di cui verificare la differenziabilità nell’origine con i due metodi è così definita :
$f(x.,y)= (xy^3)/(x^2+y^2) $ per $(x,y) ne (0,0)$
$f(x,y)=0 $ per $ (x,y)=(0,0) $.
a)Soluzione ; è $ f(0,0)=0 $
$f_x,f_y $ nell’origine vanno calcolate con la definizione di derivata parziale , come limite del rapporto incrementale, ad evitare forme indeterminate .
Si ha quindi :
$f_x(0,0)= lim_(x rarr 0) [f(x,0)-f(0,0)]/x = lim_(x rarr 0) [0-0]/x =0 $
$f_y(0,0)=lim_(y rarr 0) [f(0,y)-f(0,0)]/y = 0$.
Calcoliamo ora finalmente
$lim_(x,y rarr 0,0) [f(x,y)-0-0-0]/sqrt(x^2+y^2) =lim_(x,y rarr 0,0) (xy^3)/(x^2+y^2)^(3/2) $.
Per calcolare il limite passo a coordinate polari $(x= rho cos theta, y= rho sen theta)$
$ (xy^3)/(x^2+y^2)^(3/2)= [rho^4 cos theta*sin ^3 theta]/rho^3 = rho cos theta sin ^3 theta $.
Maggioro così :
$|(xy^3)/(x^2+y^2)^(3/2)| = rho|cos theta sin^3 theta| <= rho $, essendo $|cos theta sin^3 theta|<=1 $.
La funzione $ (xy^3)/(x^2+y^2)^(3/2)$ è quindi compresa tra $0 $ e $ rho $ , ma $rho rarr 0 $ e quindi anche la funzione $ rarr 0 $ ; il limite vale quindi $0 $ e la funzione $f(x,y ) $ è differenziabile nell’origine ed è quindi dotata di piano tangente nell’origine.
b) Soluzione – Calcolo $f_x =[y^5-x^2y^3]/(x^2+y^2)^2 $ .
Va ora verificato se $f_x, f_y $ sono continue nell’origine per poter applicare la condizione sufficiente.
Dal punto a ) si sa che $f_x(0,0)=f_y(0,0)= 0 $ .
Calcolo allora $lim_(x,y rarr 0,0) [y^5-x^2y^3]/(x^2+y^2)^2 $ e verifico se vale $0 $.
Passo a coordinate polari e ottengo $[rho^5sin^5 theta-rho^5cos^2theta*sin^3theta]/rho^4 =rho[-sin^3theta(cos^2theta-sin^2 theta)]= rho[-sin^3theta* cos (2 theta)]$.
Maggioro così : $|[y^5-x^2y^3]/(x^2+y^2)^2|= rho|[-sin^3theta cos (2 theta)]|<= rho $.; quindi con considerazioni analoghe a quelle del punto precedente si ha che il limite cercato è $0 $; di conseguenza $f_x $ è continua nell’origine.
Analoghi calcoli portano a confermare che anche $f_y $ è continua nell’origine.
La condizione sufficiente di differenziabilità ( derivate parziali continue nell’origine ) ci porta a concludere che la funzione è differenziabile nell’origine.
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