Significato di "f è limitata su R^3"

[curiosone1]

Ciao ragazzi,
Oggi stavo facendo alcuni esercizi tratti dai temi d'esame e mi è venuto un dubbio sull'interpretazione.

Qui il link: http://rinaldo.unibs.it/aa0607/a2s1.pdf - esercizio n°3
Sappiamo che f è una funzione continua su R^3 con risultato in R: f appartenente a C0 sull'intervallo R^3 con valori in R.
Mi pone due frasi:

(1) se f è limitata in R^3, allora f è uniformemente continua su R^3
(2) se f è uniformemente continua su R^3, allora f è limitata su R^3

Risposte possibili (solo una è vera):
3.A nessuna
3.B solo la (2)
3.C entrambe
3.D solo la (1)

Svolgimento:
(1): Sappiamo che f è continua su R^3 (lo sappiamo dalle ipotesi) e limitata su R^3, non è detto che è anche uniformemente continua (la continuità è una proprietà locale, mentre la uniforme continuità è una proprietà globale). Secondo me (1) è falsa.

(2): Quando penso alle funzioni uniformemente continue, penso a seno e coseno e da qui concludo che sono funzioni limitate (immagine limitata). Se poi f è uniformemente continua, allora f è continua (dalle ipotesi) ed è limitata. Secondo me (2) è vera.

Soluzione: il tema d'esame (vedi ultima pagina) mi dice che la risposta vera (e tutte le altre false, di conseguenza) è la risposta (A). Proprio non riesco a spiegarmi questo. Idee?

Grazie mille

[dissonance]

Ti fermi troppo presto, le tue sono solo intuizioni e non dimostrazioni. Comunque, sulla (1) hai ragione, ma non ti puoi fermare lì, devi esibire un controesempio. Uno standard è la funzione $f(x, y, z)=\sin(x^2)$, che è limitata ma oscilla sempre più selvaggiamente al crescere di \(x\).

Sulla (2), seno e coseno sono solo alcuni dei possibili esempi. La funzione \(f(x, y, z)=x\), per esempio, è uniformemente continua. Questa pagina è molto chiara in merito.