Significato di $d \lambda = \phi d \nu$, con $\lambda$ e $\nu$ misure
Ho un paio di dubbi intorno ad alcune scritture che sembrano ricorrenti in Teoria della Misura.
Per esempio nel seguente esercizio
Io semplicemente non capisco cosa significhi "provare che \(d \lambda = \varphi d \nu\)" (forse la \(d \lambda\) è la "misura infinitesima", cioè \(\lambda\) sui punti?). Le dispense che sto seguendo sono un po' oscure a riguardo, ed io mi sto facendo confondere da tutti quei '\(d\)'.
Ringrazio.
Edit. Ho disgraziatamente scritto \mu dove ci andava \nu. Ora dovrebbe essere corretto.
Per esempio nel seguente esercizio
Siano \((X, \mathcal{M}, \mu)\) uno spazio con misura, \(\rho \in L^{+} _{\mathcal{M}}(X)\) e \(d \nu = \rho d \mu\).
Abbiamo visto che \(\int_X f d \nu = \int_X f \rho d \mu \ \forall \, f \in L^{+} _{\mathcal{M}}(X)\).
Sia ora \(Z=\{\rho=0 \}=\{t \in X \, | \, \rho(t)=0 \}\), e sia \(\varphi: X \to [0,\infty[\) definita da \(\varphi(x)=0\) se $x \in Z$ e \(\varphi(x)=1/\rho(x)\) se \(x \in X \setminus Z\); sia poi \(\lambda\) la misura indotta su \(C=X \setminus Z\), cioè \(\lambda(E)= \mu(E \cap C)\) - in altre parole \(d \lambda = \chi_C d \mu\). Provare che allora \(d \lambda = \varphi d \nu\).
Io semplicemente non capisco cosa significhi "provare che \(d \lambda = \varphi d \nu\)" (forse la \(d \lambda\) è la "misura infinitesima", cioè \(\lambda\) sui punti?). Le dispense che sto seguendo sono un po' oscure a riguardo, ed io mi sto facendo confondere da tutti quei '\(d\)'.
Ringrazio.
Edit. Ho disgraziatamente scritto \mu dove ci andava \nu. Ora dovrebbe essere corretto.
Risposte
In effetti molti autori non usano quel \(d\) davanti alle misure, comunque si tratta solo di una questione notazionale.
La notazione \(d\lambda = \varphi\, d\mu\) significa che \(\lambda \ll \mu\) e che \(\varphi\) è la derivata di Radon-Nikodym di \(\lambda\) rispetto a \(\mu\); in particolare l'uso dei \(d\) discende proprio dal fatto che, simbolicamente, si scrive
\[
\varphi = \frac{d\lambda}{d\mu}\,.
\]
La notazione \(d\lambda = \varphi\, d\mu\) significa che \(\lambda \ll \mu\) e che \(\varphi\) è la derivata di Radon-Nikodym di \(\lambda\) rispetto a \(\mu\); in particolare l'uso dei \(d\) discende proprio dal fatto che, simbolicamente, si scrive
\[
\varphi = \frac{d\lambda}{d\mu}\,.
\]
Grazie Rigel. Ho provato a dare una dimostrazione di quel fatto, ma non sono per niente sicuro della sua correttezza - in particolare non riesco a capire fino a che punto si possa giocare algebricamente con quei $d$.
Dunque: per ipotesi ho \(\nu \ll \mu\) e dovrei mostrare che \(\lambda \ll \nu\): se \(\nu(A)=\int_A \rho d \mu =0\) dev'essere \(\mu(A)=0\) perché \(\rho \in L^{+}\); questo, unito al fatto che \(\lambda\) è la restrizione di \(\mu\) su \(C\), dovrebbe essere sufficiente. I problemi sorgono ora: mi pare di capire che questa \(\varphi\) non è altro che la funzione misurabile la cui esistenza è garantita dal teorema di Radon-Nikodyn; mi verrebbe da dire quindi che devo dimostrare che \[\lambda(A)=\int_A \varphi d \nu \quad \forall \, A\]
Ammesso che quanto ho detto sinora sia giusto, osservo che \(A=(A \cap Z) \cup (A \cap (X \setminus Z))\) e quindi \[\int_A \varphi d \nu=\int_{(A \cap Z) \cup (A \cap (X \setminus Z))} \varphi d \nu=\int_{A \cap (X \setminus Z))} \varphi d \nu = \int_{A \cap (X \setminus Z))} \frac{d \nu}{\rho} \]a questo punto sono bloccato - non so quanto sia legittimo affermare che se \[\rho = \frac{d \nu}{d \mu}\] allora \[\frac{1}{\rho} = \frac{d \mu}{d \nu}\]...
Dunque: per ipotesi ho \(\nu \ll \mu\) e dovrei mostrare che \(\lambda \ll \nu\): se \(\nu(A)=\int_A \rho d \mu =0\) dev'essere \(\mu(A)=0\) perché \(\rho \in L^{+}\); questo, unito al fatto che \(\lambda\) è la restrizione di \(\mu\) su \(C\), dovrebbe essere sufficiente. I problemi sorgono ora: mi pare di capire che questa \(\varphi\) non è altro che la funzione misurabile la cui esistenza è garantita dal teorema di Radon-Nikodyn; mi verrebbe da dire quindi che devo dimostrare che \[\lambda(A)=\int_A \varphi d \nu \quad \forall \, A\]
Ammesso che quanto ho detto sinora sia giusto, osservo che \(A=(A \cap Z) \cup (A \cap (X \setminus Z))\) e quindi \[\int_A \varphi d \nu=\int_{(A \cap Z) \cup (A \cap (X \setminus Z))} \varphi d \nu=\int_{A \cap (X \setminus Z))} \varphi d \nu = \int_{A \cap (X \setminus Z))} \frac{d \nu}{\rho} \]a questo punto sono bloccato - non so quanto sia legittimo affermare che se \[\rho = \frac{d \nu}{d \mu}\] allora \[\frac{1}{\rho} = \frac{d \mu}{d \nu}\]...
Per Del: ah, ecco ora ho capito il testo dell'esercizio! 
Stamattina l'ho letto un po' di volte ma non riuscivo a capire come potesse essere vera una roba del genere (e in effetti non mi tornava; non capivo a che cosa serviva quella $\nu$ all'inizio).
Comunque, ti suggerisco di leggere qui: la derivata di R-N è "davvero" (formalmente) una derivata, nel senso che gode delle principali proprietà della usuale derivata del Calculus. By the way, sarebbe interessante dimostrare la proprietà che ti serve (la derivata della funzione inversa); così su due piedi, non mi viene in mente nulla. Più tardi, magari stasera, ci penso un po' su...
Stamattina l'ho letto un po' di volte ma non riuscivo a capire come potesse essere vera una roba del genere (e in effetti non mi tornava; non capivo a che cosa serviva quella $\nu$ all'inizio). Comunque, ti suggerisco di leggere qui: la derivata di R-N è "davvero" (formalmente) una derivata, nel senso che gode delle principali proprietà della usuale derivata del Calculus. By the way, sarebbe interessante dimostrare la proprietà che ti serve (la derivata della funzione inversa); così su due piedi, non mi viene in mente nulla. Più tardi, magari stasera, ci penso un po' su...
"Paolo90":
Comunque, ti suggerisco di leggere qui: la derivata di R-N è "davvero" (formalmente) una derivata, nel senso che gode delle principali proprietà della usuale derivata del Calculus. By the way, sarebbe interessante dimostrare la proprietà che ti serve (la derivata della funzione inversa); così su due piedi, non mi viene in mente nulla. Più tardi, magari stasera, ci penso un po' su... [...]
Interessante, grazie. Dando per buone queste proprietà mi pare allora si possa concludere: infatti \[\int_{A \cap (X \setminus Z)} \frac{d \nu}{\rho}= \int_{A \cap (X \setminus Z)} d \nu \frac{d \mu}{d \nu}=\int_{A \cap (X \setminus Z)} d \mu \]
cioè riassumendo ottengo \[\lambda(A) = \int_{A \cap (X \setminus Z)} d \mu\] uguaglianza vera per ipotesi. Se quindi ripercorro a ritroso la catena, dovrei ottenere la tesi cercata...
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