Significato della derivata

[Max.8911]

La derivata è il limite di h che tende a 0 del rapporto incrementale.

Questa è la definizione che si trova ovunque e ho anche già guardato i grafici che la spiegano.

Se io faccio un rapporto incrementale tra una certa distanza sulle y e una certa distanza sulle x ottengo una pendenza.
Questo è abbastanza intuitivo perchè avviene una cosa simile per la pendenza di una strada.

Quello che non capisco è perchè facendo il limite di h che tende a 0 ottengo una derivata su tutta la funzione.

Ho letto su un sito che la derivata è la velocità di come varia y quando la x si sposta regolarmente.

Esempio:
y = x^2
y' = 2x

y' dovrebbe essere la velocità con cui varia y a seconda di x,ma perchè?

f(1) = 1,f(2) = 4,f(3) = 9
f'(1) = 2,f'(2) = 4,f'(3) = 6

Non capisco la relazione tra i numeri sopra.
per esempio se in f'(3) = 6 ottengo un 6 cosa rappresenta questo 6?

Io le derivate le sapevo risolvere alle superiori e volendo posso farlo anche adesso,ma mi da fastidio non capire cosa sto facendo.

Grazie in anticipo.

[Alexp1]

"Max.89":Quello che non capisco è perchè facendo il limite di h che tende a 0 ottengo una derivata su tutta la funzione.

Assolutamente no.......il rapporto incrementale ti calcola la derivata sempre in un punto e NON su tutta la funzione!!

[Alexp1]

"Max.89":Ho letto su un sito che la derivata è la velocità di come varia y quando la x si sposta regolarmente.

Esempio:
y = x^2
y' = 2x

y' dovrebbe essere la velocità con cui varia y a seconda di x,ma perchè?

f(1) = 1,f(2) = 4,f(3) = 9
f'(1) = 2,f'(2) = 4,f'(3) = 6

Non capisco la relazione tra i numeri sopra.
per esempio se in f'(3) = 6 ottengo un 6 cosa rappresenta questo 6?

$f'(3)=6$ significa che la funzione $x^2$ nel punto $x=3$ è approssimabile ad una retta che ha coefficiente angolare $6$, ossia inclinata di $arctg(6)$ gradi

[Max.8911]

Grazie per le risposte.
Però non capisco ancora delle cose.

y' = 2x sempre riferendosi a y = x^2 non è la derivata di tutta la funzione?
Come si fa a stabilire il punto se l'x è generico?

[Alexp1]

Si, in questo caso è la derivata di tutta la funzione, ma la "pendenza" varia da punto a punto....infatti hai visto anche tu che se consideriamo i punti $x=1$, $x=2$, e $x=3$ e considerando $y'=2x$ si otterrà rispettivamente $y'=2$, $y'=4$ e $y'=6$ questo perchè la funzione $x^2$ non "cresce" in modo uguale...se crescesse in modo uguale sarebbe una retta!

Usando il rapporto incrementale devi fissare un punto e quindi il risultato che trovi si riferisce solo al punto fissato....infatti se per esempio fissassi $x=3$ otterresti $6$ come risultato del rapporto incrementale...risultato che ottieni anche calcolando direttamente la derivata.