Significato del metodo dei moltiplicatori di Lagrange
Ciao a tutti,
ho usato sempre con molta "nonchalance" il metodo dei moltiplicatori senza mai aver ben chiaro quale sia il significato geometrico di questo metodo e mi piacerebbe chiarire i miei dubbi
Mettiamoci nel caso di una funzione $f:D->R$ continua, dove $DsubRR^2$ è un compatto, per Weiestrass ammette massimo e minimo.
Supponiamo di voler trovare gli estremanti relativi che appartengano alla frontiera di D ($Fr(D)$).
$Fr(D)$ è una curva (sottovarietà di dimensione $1$).
Supponiamo che $g(x,y)=0$ sia un'equazione cartesiana della sottovarietà: ovvero $Fr(D)={(x,y)inDom(g)|g(x,y)=0}$.
Sappiamo che $Fr(D)$ non è detto che sia una curva di livello per $f$, altrimenti $f$ sarebbe costante su $Fr(D)$, ovvero esisterebbe $kinR|AA(x,y)inFr(D),f(x,y)=k$.
Tuttavia $Fr(D)$ è una curva di livello per $g$, e dunque $gradg(x,y)$ è normale in ogni punto di $Fr(D)$ alla frontiera stessa (in quanto curva di livello).
(Teorema di cui non conosco la dimostrazione): Se $(\bar x,\bar y)$ è un estremante relativo di $f$ ristretta alla sottovarietà, allora $gradf(\bar x,\bar y)$ appartiene allo spazio normale della sottovarietà.
Dall'osservazione di prima ne discende che una base per lo spazio normale alla sottovarietà è $gradg(x,y)$ e dunque per il teorema precedente $grad f(x,y)$ può essere scritto come combinazione lineare di elementi della base di $Fr(D)$ ovvero $EE lambda in RR | gradf(x,y)=lambda gradg(x,y)$, e in più impongo l'appartenenza alla sottovarietà $g(x,y)=0$.
Si procede in questo modo?
Io sono molto dubbioso su questo, ho cercato in giro su internet spiegazioni a riguardo ma moltissimi siti giustificavano la presenza di $lambda$ con il fatto che i due gradienti dovessero essere paralleli (che capiamoci, è la stessa cosa di dire che sono linearmente dipendenti come ho scritto io); ma questo dimostra che esiste un'altra interpretazione più geometrica che io non conosco!
Grazie in anticipo
ho usato sempre con molta "nonchalance" il metodo dei moltiplicatori senza mai aver ben chiaro quale sia il significato geometrico di questo metodo e mi piacerebbe chiarire i miei dubbi
Mettiamoci nel caso di una funzione $f:D->R$ continua, dove $DsubRR^2$ è un compatto, per Weiestrass ammette massimo e minimo.
Supponiamo di voler trovare gli estremanti relativi che appartengano alla frontiera di D ($Fr(D)$).
$Fr(D)$ è una curva (sottovarietà di dimensione $1$).
Supponiamo che $g(x,y)=0$ sia un'equazione cartesiana della sottovarietà: ovvero $Fr(D)={(x,y)inDom(g)|g(x,y)=0}$.
Sappiamo che $Fr(D)$ non è detto che sia una curva di livello per $f$, altrimenti $f$ sarebbe costante su $Fr(D)$, ovvero esisterebbe $kinR|AA(x,y)inFr(D),f(x,y)=k$.
Tuttavia $Fr(D)$ è una curva di livello per $g$, e dunque $gradg(x,y)$ è normale in ogni punto di $Fr(D)$ alla frontiera stessa (in quanto curva di livello).
(Teorema di cui non conosco la dimostrazione): Se $(\bar x,\bar y)$ è un estremante relativo di $f$ ristretta alla sottovarietà, allora $gradf(\bar x,\bar y)$ appartiene allo spazio normale della sottovarietà.
Dall'osservazione di prima ne discende che una base per lo spazio normale alla sottovarietà è $gradg(x,y)$ e dunque per il teorema precedente $grad f(x,y)$ può essere scritto come combinazione lineare di elementi della base di $Fr(D)$ ovvero $EE lambda in RR | gradf(x,y)=lambda gradg(x,y)$, e in più impongo l'appartenenza alla sottovarietà $g(x,y)=0$.
Si procede in questo modo?
Io sono molto dubbioso su questo, ho cercato in giro su internet spiegazioni a riguardo ma moltissimi siti giustificavano la presenza di $lambda$ con il fatto che i due gradienti dovessero essere paralleli (che capiamoci, è la stessa cosa di dire che sono linearmente dipendenti come ho scritto io); ma questo dimostra che esiste un'altra interpretazione più geometrica che io non conosco!
Grazie in anticipo
Risposte
Se \(f\) è una funzione scalare sulla varietà \(\text{Fr}(D)\), allora dal punto di vista della varietà il suo gradiente non è \(\nabla f\) ma la proiezione ortogonale di \(\nabla f \) sullo spazio tangente. Queste cose si capiscono bene in meccanica razionale: se un punto è vincolato su un vincolo liscio, ogni forza che viene applicata su di esso agisce solo mediante la sua componente tangenziale, perché la componente normale viene annullata dalle reazioni vincolari.
Quindi affinché \(f\) abbia un punto critico sulla varietà occorre che si annulli NON il gradiente libero ma il gradiente vincolato, ovvero la proiezione del gradiente sullo spazio tangente. Questo è equivalente a richiedere che il gradiente sia tutto normale alla varietà, ovvero la condizione solita con i moltiplicatori. Anche qua, l'interpetazione migliore è quella meccanica: se \(f\) è l'energia potenziale della nostra particella su vincolo liscio, i suoi punti critici vincolati corrispondono alle posizioni di equilibrio. E' chiaro che se la particella è soggetta ad una forza interamente normale al vincolo allora sta in equilibrio: prova con una monetina appoggiata sul tavolo.
Quindi affinché \(f\) abbia un punto critico sulla varietà occorre che si annulli NON il gradiente libero ma il gradiente vincolato, ovvero la proiezione del gradiente sullo spazio tangente. Questo è equivalente a richiedere che il gradiente sia tutto normale alla varietà, ovvero la condizione solita con i moltiplicatori. Anche qua, l'interpetazione migliore è quella meccanica: se \(f\) è l'energia potenziale della nostra particella su vincolo liscio, i suoi punti critici vincolati corrispondono alle posizioni di equilibrio. E' chiaro che se la particella è soggetta ad una forza interamente normale al vincolo allora sta in equilibrio: prova con una monetina appoggiata sul tavolo.
Perfetto ho capito!!
Grazie tante!
Grazie tante!
C'è una traduzione un po' più "ingegneristica"? 
Si, certo, si tratta di un metodo che origina dalla statica (a quanto ne so). Io posso provare a rispiegarlo, ma sicuramente finirei per dire sempre le stesse cose di un anno fa. Prova a dare un'occhiata alla vecchia edizione del libro di Pagani e Salsa "Analisi Matematica II". Quello è un libro che (a quanto mi risulta) si usava molto nei corsi di Ingegneria e sono sicuro che usa l'interpretazione statica per spiegare il metodo di Lagrange.
Altrimenti non so, dovresti chiedere a un ingegnere.
Altrimenti non so, dovresti chiedere a un ingegnere.
Ciao,
scusa per il ritardo nel rispondere ma diciamo che ero impossibilitato a farlo
.
Ad ogni modo,
il fatto veramente interessante su cui si basa -in toto- il teorema dei moltiplicatori è che se hai un estremante relativo vincolato alla frontiera di una sottovarietà il gradiente della funzione in questione calcolato in quel punto appartiene allo spazio normale della sottovarietà stessa.
L'analogia che mi suggerì il buon dissonance oltre un anno fa è questa:
supponi che la funzione sia "l'energia potenziale" di un campo di forze.
Allora, come sai, il suo antigradiente (gradiente col segno meno) dà il campo di forze stesso.
Non focalizzarti sul segno meno che è solo una convenzione.
Ipotizziamo che questa funzione sia definita su un cerchio, a te interessa sapere se un punto materiale (che schematizzi qualsiasi cosa) posto nel cerchio si trovi in equilibrio.
I casi sono due:
a) Il punto materiale si trova nell'interno del cerchio: utilizzi il teorema di Fermat (analogia: la risultante delle forze deve essere nulla).
b) Il punto materiale si trova sulla circonferenza: se esso è in equilibrio vuol dire che ha una forza unicamente radiale "di richiamo" verso il centro del cerchio. Se non fosse così allora scivolerebbe sulla circonferenza. Da qui il teorema dei moltiplicatori.
scusa per il ritardo nel rispondere ma diciamo che ero impossibilitato a farlo
.Ad ogni modo,
il fatto veramente interessante su cui si basa -in toto- il teorema dei moltiplicatori è che se hai un estremante relativo vincolato alla frontiera di una sottovarietà il gradiente della funzione in questione calcolato in quel punto appartiene allo spazio normale della sottovarietà stessa.
L'analogia che mi suggerì il buon dissonance oltre un anno fa è questa:
supponi che la funzione sia "l'energia potenziale" di un campo di forze.
Allora, come sai, il suo antigradiente (gradiente col segno meno) dà il campo di forze stesso.
Non focalizzarti sul segno meno che è solo una convenzione.
Ipotizziamo che questa funzione sia definita su un cerchio, a te interessa sapere se un punto materiale (che schematizzi qualsiasi cosa) posto nel cerchio si trovi in equilibrio.
I casi sono due:
a) Il punto materiale si trova nell'interno del cerchio: utilizzi il teorema di Fermat (analogia: la risultante delle forze deve essere nulla).
b) Il punto materiale si trova sulla circonferenza: se esso è in equilibrio vuol dire che ha una forza unicamente radiale "di richiamo" verso il centro del cerchio. Se non fosse così allora scivolerebbe sulla circonferenza. Da qui il teorema dei moltiplicatori.
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