Significati dell'o-piccolo in un limite

[a.Smith1]

$(-9/2x^3+o(x^3))/(x(2+o(x)))$

con limite di x che tende a 0: qualcuno saprebbe esattamente spiegarmi come lo dovrei calcolare?
o per meglio dire, questi o piccoli che ruolo hanno nel calcolo di questo limite?

ciao e grazie a tutti


ps: ma in MathMl in simbolo di limite per var che tende a qualcosa esiste?

[cozzataddeo]

Ai fini del calcolo del tuo limite, il simbolo $o(x^3)$ sta ad indicare una funzione (di espressione analitica ignota) di cui si sa che

$lim_(x->0)(o(x^3))/x^3=0$

ovvero $o(x^3)$ è un infinitesimo di ordine superiore a $3$. Poiché a numeratore esso è sommato ad un infinitesimo di ordine $3$ può essere trascurato in base al prinicipio di eliminazione degli infinitesimi di ordine superiore.
In pratica si ha

$lim_(x->0)(-9/2x^3+o(x^3))/(x(2+o(x)))=lim_(x->0)(-9/2x^3+o(x^3))/(2x+xo(x))=lim_(x->0)(-9/2x^3+o(x^3))/(2x+o(x^2))$

dove nell'ultimo passaggio si è tenuto conto che vale la proprietà

$x^n*o(x^m)=o(x^(n+m))$ (algebra degli o-piccolo)

Per il principio di eliminazione degli infinitesimi di ordine superiore il limite non cambia se trascuri $o(x^3)$ a numeratore e $o(x^2)$ a denominatore per cui

$lim_(x->0)(-9/2x^3+o(x^3))/(2x+o(x^2))=lim_(x->0)(-9/2x^3)/(2x)=lim_(x->0)(-9/4x^2)=0$

Ciao.

P.S.: per vedere come si scrive un limite in Mathml è sufficiente che ti posizioni sopra uno dei limiti scritti: nel tooltip apparirà la sintassi sorgente della formula.