$\sigma$-algebra di Borel

[Sk_Anonymous]

Sono alle prese con la seguente dimostrazione: consideriamo $RR$ con la topologia euclidea. Voglio provare che la $sigma$-algebra di Borel $\mathcal{B}(RR)$ è generata dai chiusi di $RR$. Il mio professore ha attaccato così: consideriamo gli insiemi $Omega_1={sigma-\text{algebre contenenti gli aperti}}$ e $\Omega_2={sigma-\text{algebre contenenti i chiusi}}$. Facciamo vedere che $min\Omega_1$ e $min\Omega_2$: infatti vale che $min\Omega_1=min\Omega_2\iff\Omega_1=\Omega_2$ (esercizio).

Ora, l'implicazione "$\Leftarrow$" è banale, in quanto gli insiemi $\Omega_1$ e $\Omega_2$ ammettono minimo (dimostrato in un facile lemma). L'altra implicazione, invece, mi sfugge. Aspetto speranzoso un vostro aiuto

[gugo82]

In generale non è vero che $min Omega_1=min Omega_2 => Omega_1=Omega_2$, il che è palese (ad esempio $min \{ \{0\}, \{0,1\}\}=min\{\{0\}, \{0,2\}\}$ epperò...).

Però per mostrare che la $sigma$-algebra di Borel è generata dai chiusi ti basta far vedere che $Omega_1=Omega_2$; e l'implicazione incriminata non è che ti serva a molto...

[Sk_Anonymous]

Il problema è che il mio docente dimostra che $minOmega_1=minOmega_2$ e dice che la dimostrazione è conclusa in virtù dell'esercizio. D'altro canto, è ovvio - come hai evidenziato - che il viceversa non vale per insiemi generici. Forse bisogna sfruttare qualche proprietà che mi sfugge...

[gugo82]

Guarda che $Omega_1=Omega_2$ poiché le $sigma$-algebre sono chiuse rispetto ai complementi.
Quindi che bisogno hai di $=>$?

[amel3]

Magari è una cavolata, ma secondo me intendeva dire solamente che:
$\mathcal{B}(RR)=min{sigma-\text{algebre contenenti i chiusi}}$, quindi devo provare che:
$\mathcal{B}(RR)=min{sigma-\text{algebre contenenti i chiusi}}= min{sigma-\text{algebre contenenti gli aperti}}$ (*)
(*) in questo caso è equivalente a:
${sigma-\text{algebre contenenti i chiusi}}={sigma-\text{algebre contenenti gli aperti}}$ (**)

[Sk_Anonymous]

"Gugo82":Guarda che $Omega_1=Omega_2$ poiché le $sigma$-algebre sono chiuse rispetto ai complementi.
Quindi che bisogno hai di $=>$?

Rileggendo a mente fredda, devo constatare che hai ragione: quell'implicazione non serve a nulla: dimostrato che $Omega_1=Omega_2$, ho che i due minimi coincidono, da cui le $sigma$-algebre generate coincidono. Sarebbe interessante capire se il viceversa dell'esercizio ha qualche fondamento teorico o, più probabilmente, una mia svista durante la presa degli appunti.
Grazie a tutti per l'aiuto.