Si scriva lo sviluppo di Taylor di $1/(1+x^2)$
in serie di Potenze di $x$ e si determini il raggio di convergenza di tale sviluppo . Si commenti il risultato ottenuto osservando che $ r $ è finito, pur essendo la funzione $f(x)$ analitica su tutto l'asse reale.
Ho fatto le derivate ma non ho $ x_0$ , non mi è dato. pertanto ritengo che si debba scrivere tutto in x.
$1/(1+x^2) = f(x) -(2x)/((1+x^2)^2).(x-a)/(1!) -(24x)/((1+x^2)^2).(x-a)^2/(2!)+ .......+ $
e come si trova il raggio di convergenza? e le altre domande?
grazie infinite.
Ho fatto le derivate ma non ho $ x_0$ , non mi è dato. pertanto ritengo che si debba scrivere tutto in x.
$1/(1+x^2) = f(x) -(2x)/((1+x^2)^2).(x-a)/(1!) -(24x)/((1+x^2)^2).(x-a)^2/(2!)+ .......+ $
e come si trova il raggio di convergenza? e le altre domande?
grazie infinite.
Risposte
Dovresti postare nella sezione Analisi Matematica...
Premesso ciò, il punto attorno al quale sviluppare il polinomio di Taylor è arbitrario, nel caso in cui non venga specificato. Arbitrario, ma ovviamente tale che la funzione esista.
Nel tuo caso è ragionevole considerare $x_0=0$.
La funzione $1/(1+x^2)$ sviluppata intorno a $0$, diventerà quindi:
$f(x)=1-x^2+x^4-x^6+x^8+...+x^(2n)$ che è alternante.
In termini di sommatoria un'idea potrebbe essere questa:
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^(n-1)x^(2n-2)$
Ora prosegui sapendo che il raggio di convergenza si ottiene facendo $lim_{n \to \infty}|c_n/c_(n+1)|$, dove con $c_n$ s'intende la parte della serie a meno del termine in $x$.
Premesso ciò, il punto attorno al quale sviluppare il polinomio di Taylor è arbitrario, nel caso in cui non venga specificato. Arbitrario, ma ovviamente tale che la funzione esista.
Nel tuo caso è ragionevole considerare $x_0=0$.
La funzione $1/(1+x^2)$ sviluppata intorno a $0$, diventerà quindi:
$f(x)=1-x^2+x^4-x^6+x^8+...+x^(2n)$ che è alternante.
In termini di sommatoria un'idea potrebbe essere questa:
$\sum_{n=1}^\infty (-1)^(n-1)x^(2n-2)$
Ora prosegui sapendo che il raggio di convergenza si ottiene facendo $lim_{n \to \infty}|c_n/c_(n+1)|$, dove con $c_n$ s'intende la parte della serie a meno del termine in $x$.
Grazie tante
"ANTONELLI ":
$1/(1+x^2) = f(x) -(2x)/((1+x^2)^2).(x-a)/(1!) -(24x)/((1+x^2)^2).(x-a)^2/(2!)+ .......+ $
Questo è sbagliatissimo, stai attento. Non confondere la variabile indipendente \(x\) con il centro dello sviluppo \(x_0\) che è fissato. A destra dello sviluppo devi avere una serie di potenze.
E' vero ma io non sapevo quale fosse il punto $ x_0$ da considerare. Con le vostre risposte ho capito che non dicendo niente si considera $0$
Quindi tutta la parte ..$/(1+x^2)^2$ ...ecc non compare......
Quindi tutta la parte ..$/(1+x^2)^2$ ...ecc non compare......
E' ancora sbagliato quanto affermi: se quel pezzo non comparisse staresti dicendo che
\begin{equation*}
\frac{1}{1+x^2}=\text{costante}.
\end{equation*}
Hai fatto qualche errore nel calcolare le derivate, non è possibile che si annullino tutte in \(0\).
Comunque, lascia stare e rifatti al messaggio di Demostene92 che è corretto (a parte il fatto che dice "la serie è alternante", una dicitura un po' ambigua che io eviterei).
\begin{equation*}
\frac{1}{1+x^2}=\text{costante}.
\end{equation*}
Hai fatto qualche errore nel calcolare le derivate, non è possibile che si annullino tutte in \(0\).
Comunque, lascia stare e rifatti al messaggio di Demostene92 che è corretto (a parte il fatto che dice "la serie è alternante", una dicitura un po' ambigua che io eviterei).
"ANTONELLI ":
E' vero ma io non sapevo quale fosse il punto $ x_0$ da considerare. Con le vostre risposte ho capito che non dicendo niente si considera $0$
Non è del tutto vero, come esempio puoi prendere $lnx$: non puoi sviluppare attorno a $x_0=0$.
In questo caso il raggio di convergenza vale 1 vero?
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