Si può sovrastimare questo integrale in $L^p(RR^n)$?

[Fox4]

Sia [tex]u \in L^p(\mathbb{R}^n)[/tex] e sia [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex]
definiamo [tex]h:=\min\{u-\lambda,0\}[/tex]
allora riesco a dire che [tex]\forall K\in\mathbb{R}\ \ \exists\ \lambda\ \ tc\ ||h||_p
Intuitivamente mi torna, credo potrei anche dimostrarlo, penso al grafico di una funzione continua di una variabile sempre positiva(si tratta solo di aggiungere prima una costante), integrabile in norma p (quindi converge a 0 abbastanza rapidamente quando x va all'infinito), che viene tirato giù piano piano in modo continuo.

Il fatto è che se [tex]u \in L^p(\mathbb{R}^n)[/tex] è definita solo q.o. e non è detto sia limitata, perciò non posso pensare come sopra, nel caso in cui sia una funzione "in senso classico", o sbaglio?
Un suggerimento?

[gugo82]

"Fox":Sia [tex]u \in L^p(\mathbb{R}^n)[/tex] e sia [tex]\lambda\in\mathbb{R}[/tex]
definiamo [tex]h:=\min\{u-\lambda,0\}[/tex]
allora riesco a dire che [tex]\forall K\in\mathbb{R}\ \ \exists\ \lambda\ \ tc\ ||h||_p
Credo si possa fare... Ma ci devo pensare un po'.

"Fox":Intuitivamente mi torna, credo potrei anche dimostrarlo, penso al grafico di una funzione continua di una variabile sempre positiva(si tratta solo di aggiungere prima una costante), integrabile in norma p (quindi converge a 0 abbastanza rapidamente quando x va all'infinito), che viene tirato giù piano piano in modo continuo.

Posso farti notare che [tex]$u\in C \cap L^p$[/tex] non implica che [tex]$u\to 0$[/tex] in [tex]$\pm \infty$[/tex]... Ci sono esempi abbastanza classici a proposito.

[Fox4]

ah si beh credo tu intenda funzioni seno e coseno? Se p è dispari...

Ok, quindi una funzione in [tex]L^p(\mathbb{R}^n)[/tex] non è detto vada a zero all'infinito velocemente, ma il viceversa è vero (una funzione che va a 0 all'infinito "abb. velocemente", cioè più di [tex]x^{-\frac{1}{p}}[/tex], è in [tex]L^p(\mathbb{R}^n)[/tex]) se non ci sono singolarità "troppo forti" al finito...
con troppo forti intendo se [tex]\exists\ x_0[/tex] tale che per tutti gli [tex]x[/tex] molto vicini a [tex]x_0\ \ |u|^p\simeq\frac{C}{x-x_0}[/tex], così dovrebbe andare bene.


Allora non saprei come dimostrarlo nemmeno nel caso di funzione...

[dissonance]

Vedi un po' qui (una funzione $L^1$ che non decade a zero all'infinito):
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#351802
e qui (appartenenza ad $L^p$ di infiniti e infinitesimi campione):
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#354647

[Fox4]

ok, grazie ragazzi, vi devo una birra!!!


E finito questo OT di dubbi sugli elementi degli spazi [tex]L^p(\mathbb{R}^n)[/tex],

che mi dite del teorema? Un suggerimento? Proprio non riesco a trovare un punto di attacco...

Intanto [tex]h[/tex] è misurabile perchè il min (e in generale l'inf) di funzioni misurabili è misurabile.
Sia [tex]A_\lambda=\{x\in \mathbb{R}^n\ |\ u-\lambda<0\}[/tex]
A questo punto [tex]\int_{\mathbb{R}^n}|h|^p\ d\mu=\int_{A_\lambda}|u-\lambda|^p\ d\mu[/tex] ma da qui come si può proseguire?
volevo spezzare in qualche modo quel termine o usare holder, ma mi pare che non arrivo da nessuna parte, non so nemmeno dire se [tex]A_\lambda[/tex] è limitato o no
sicuramente lo può essere ma formalmente non so dimostrarlo...

[gugo82]

C'è qualcosa che non mi torna...

Ad esempio, prendiamo [tex]$n=1$[/tex] e la funzione:

[tex]$u(x):=\begin{cases} \sin x &\text{, se $|x|\leq \pi $}\\ 0 &\text{, se $|x|\geq \pi$}\end{cases}$[/tex];

evidentemente [tex]$u\in C_c(\mathbb{R}) \subset L^p(\mathbb{R})$[/tex] per ogni [tex]$p>0$[/tex] e si ha [tex]$-1\leq u(x)\leq 1$[/tex] in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex].

Fissiamo [tex]$\lambda =1$[/tex]: la funzione [tex]$h(x):=\min \{ u(x)-\lambda,0\}$[/tex] è la seguente:

[tex]$h(x):=\begin{cases} u(x)-1 &\text{, se $u(x)\leq 1$} \\ 0 &\text{, se $u(x)\geq 1$}\end{cases} \ =u(x)-1$[/tex]

ma è evidente che [tex]$u(x)-1 \notin L^p$[/tex].
Lo stesso succede per ogni [tex]$\lambda >0$[/tex].

In generale, se [tex]$u\in C_c(\mathbb{R}^n)$[/tex], basta prendere [tex]$\lambda \geq \sup_{\mathbb{R}^n} u$[/tex] per avere [tex]$h\notin L^p(\mathbb{R}^n)$[/tex]; anzi si ha [tex]$h\notin L^p$[/tex] appena risulta [tex]$m(\{ u\leq \lambda\}) =+\infty$[/tex], il che si verifica "quasi sempre" (ossia per moltissimi valori di [tex]$\lambda$[/tex]) se [tex]$u\in C_c$[/tex].

[salvozungri]

E se prendessimo [tex]\lambda\le \inf_{\mathbb{R}} u[/tex]? In questo modo la funzione [tex]h(x)=0\quad \forall x\in \mathbb{R}[/tex] A me non mi convince molto il fatto che [tex]K\in \mathbb{R}[/tex], dovrebbe essere non negativa, anzi no, addirittura positiva.

[Fox4]

si quella scelta ti garantirebbe il minore [tex]\forall\ K>0[/tex], quindi possiamo dire che la dimostrazione è tutta qui?

K deve essere positivo sicuramente perchè stai minorando una norma, mi sa che ho sbagliato a scrivere nel primo post.

[holmes1]

mi pare si possa risolvere con il teo della conv dominata:
perdono per tutto prima, per la scrittura e per il tentativo!!!!!!
0)si può ipot. u negativa, non limitata(dal basso)

1)lim(lambda->-infinito) h=0 q.o.

2)modulo di h alla p tende a zero quasi ovunque ,sempre per lambda...

3)sia L(n) successione di termini negativi che va a meno infin per n che diverge (Se u è limitata allora basta che L(n)->inf u)

4)successione di funzioni: Fn="modulo di(inf(u-L(n),0))alla p"

5)Fn sono sommabili dominate da modulo di(u)alla p ( u è in Lp quindi modulo di(u)alla p è sommabile , e Fn
6)Fn->0=>intgrale di Fn tende a zero(Teo.conv.dom)=> per ogni epsilon(quindi k) esise n (quindi lambda,L(n)) tc integrale di Fn è più piccolo di epsilon...

vale per le negative=>( per le positive mi pare gratis no?!) e spezzando eventualmente parte pos e neg ..dovrebbe valere per tutte.


oh uno ci prova èh! fatemi sapere..............saluti!

.........Holmes

[salvozungri]

Ciao Holmes, potresti riscrivere il ragionamento usando le formule? , io credo che sia corretto, però non riesco a comprendere bene alcuni passaggi

[holmes1]

ora ci provo......

[holmes1]

mi pare si possa risolvere con il teo della conv dominata:
perdono per tutto prima, per la scrittura e per il tentativo!!!!!!
0)si può ipot. u negativa, non limitata(dal basso)

1)$\lim_{\lambda \to -\infty} h=0$ q.o.

2) $|h|^{p}$ tende a zero quasi ovunque ,sempre per lambda...

3)sia $L_{n}$ successione di termini negativi che va a meno infin per n che diverge,magari $L_{0}=0$, e la storia è monotona, (Se u è limitata allora basta che $L_{n}$ converga a inf u)

4)successione di funzioni: $F_{n}$=|inf{u-L(n),0}|$^p$

5)Fn sono sommabili dominate da $|u|^{p}$ ( u è in Lp quindi $|u|^{p}$ è sommabile , e $F_{n}<|u|^{p}$ q.o.,hp del teo conv dom)

6)$F_{n}$->0 (puntualmente qo=>intgrale di Fn tende a zero(Teo.conv.dom)=> per ogni epsilon(quindi k) esise n (quindi lambda,$L_{n}$) tc integrale di $F_{n}$(sarebbe la norma alla p di h ponderata per un lambda opportuno) è più piccolo di epsilon...

vale per le negative=>( per le positive mi pare gratis no?!) e spezzando eventualmente parte pos e neg ..dovrebbe valere per tutte.


oh uno ci prova èh! fatemi sapere..............saluti!

.........Holmes


c'ho provato

[salvozungri]

"holmes":mi pare si possa risolvere con il teo della conv dominata:
perdono per tutto prima, per la scrittura e per il tentativo!!!!!!
0)si può ipot. u negativa, non limitata(dal basso)

1)$\lim_{\lambda \to -\infty}h=0$ q.o.

2) $|h|^{p}$ tende a zero quasi ovunque ,sempre per lambda...

3)sia $L_{n}$ successione di termini negativi che va a meno infin per n che diverge,magari $L_{0}=0$, e la storia è monotona, (Se u è limitata allora basta che $L_{n}$->inf u)

4)successione di funzioni: $F_{n}=|"inf"{u-L(n),0}|^p$

5)Fn sono sommabili dominate da $|u|^{p}$ ( u è in Lp quindi $|u|^{p}$ è sommabile , e $F_{n}<|u|^{p}$ q.o.,hp del teo conv dom)

6)$Fn->0$=>intgrale di Fn tende a zero (Teo.conv.dom)=> per ogni epsilon(quindi k) esise n (quindi lambda,$L_{n}$) tc integrale di $F_{n}$(sarebbe h ponderata per un lambda opportuno) è più piccolo di epsilon...

vale per le negative=>( per le positive mi pare gratis no?!) e spezzando eventualmente parte pos e neg ..dovrebbe valere per tutte.


oh uno ci prova èh! fatemi sapere..............saluti!

.........Holmes

Innanzitutto ti ringrazio! Il mio dubbio sta nel punto 5) non tutte le $F_n$ sono dominate da $|u|^p$, ma credo che questo passo si possa superare dicendo che definitivamente le $F_n$ sono dominate da $|u|^p$, giusto?

Dall'alto della mia ignoranza ritengo che la tua dimostrazione sia corretta....Aspettiamo comunque pareri più autorevoli

[holmes1]

dici che nn è sempre possibile....
ma $\lambda$<0=>$u-\lambda>u$ sotto ip della dim
|u|>|u-\lambda|, il discorso è su termini negativi, quando $u-\lambda$>0 per noi nn conta più, per cm sn def le $F_{n}$

prova un po'!!??



fammi sapere ciao!

[salvozungri]

"holmes":dici che nn è sempre possibile....
ma $\lambda$<0=>$u-\lambda>u$ sotto ip della dim
|u|>|u-\lambda|$
[...]

Sisì, hai ragione, ho fatto un pastrocchio con le disuguaglianze.