Si possono usare combinazioni lineari di equazioni per risolvere un sistema non lineare?
Da algebra lineare ho imparato il metodo di eliminazione gaussiana, secondo il quale in un sistema lineare:
-sommare /sottrarre multipli di una riga ad un altra riga
-scambiare righe
-moltiplicare una riga per un numero reale
non cambia il risultato del sistema. Queste mosse si usano per ridurre a scalini la matrice del sistema ma si possono anche semplicemente usare per agevolare i conti, per esempio con il "metodo di addizione" che si usa alle superiori.
Ora, in analisi 2 mi capita spesso di dover risolvere un sistema di grado 2-3 per la ricerca di massimi e minimi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, e farlo solo con sostituzione spesso è troppo lento.
La prof nel risolverli fa ancora somma / sottrazione tra le righe, e una volta ha fatto il rapporto tra due equazioni, cosa che non mi pare neppure che ci sia tra le mosse possibili dell' eliminazione gaussiana.
Vorrei chiedere quindi se le mosse dell' eliminazione gaussiana valgono anche per sistemi non lineari, cioè di grado 2+ come pure fare il rapporto tra due righe, perchè nella teoria non è mai stato detto.
Posso sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere tra loro le righe di un sistema con qualunque grado, e non solo di primo grado?
-sommare /sottrarre multipli di una riga ad un altra riga
-scambiare righe
-moltiplicare una riga per un numero reale
non cambia il risultato del sistema. Queste mosse si usano per ridurre a scalini la matrice del sistema ma si possono anche semplicemente usare per agevolare i conti, per esempio con il "metodo di addizione" che si usa alle superiori.
Ora, in analisi 2 mi capita spesso di dover risolvere un sistema di grado 2-3 per la ricerca di massimi e minimi vincolati con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, e farlo solo con sostituzione spesso è troppo lento.
La prof nel risolverli fa ancora somma / sottrazione tra le righe, e una volta ha fatto il rapporto tra due equazioni, cosa che non mi pare neppure che ci sia tra le mosse possibili dell' eliminazione gaussiana.
Vorrei chiedere quindi se le mosse dell' eliminazione gaussiana valgono anche per sistemi non lineari, cioè di grado 2+ come pure fare il rapporto tra due righe, perchè nella teoria non è mai stato detto.
Posso sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere tra loro le righe di un sistema con qualunque grado, e non solo di primo grado?
Risposte
Le operazioni si possono certamente compiere e utilizzare; quello che non esiste è un teorema analogo al teorema di Rouché-Capelli, che dica che quelle operazioni consentono sempre di capire se un sistema ammette o no soluzione (e quanto è grande lo spazio di tali soluzioni).
Quindi non posso sapere se ci sono soluzioni, ma se ci sono, facendo quelle operazioni le soluzioni non cambiano, anche per sistemi di grado 2+ giusto?
Questa è una buona domanda, una di quelle cose che tutti sembrano sapere e dare per scontate, ma su cui in realtà c'è da riflettere. Supponiamo di avere il sistema di equazioni
\[\tag{1}
\begin{cases}
f(x, y)=0, \\
g(x, y)=0.
\end{cases}\]
Se \(f\) e \(g\) sono funzioni lineari, questo è un sistema lineare, ma non lo stiamo richiedendo qui.
Come tutte le equazioni, il sistema (1) è in realtà l'assegnazione di un insieme, l'insieme delle sue soluzioni:
\[
S_1:=\{(x, y) \text{ che verificano }(1)\}.\]
Ora consideriamo un altro sistema:
\[\tag{2}
\begin{cases}
f(x, y)+\lambda g(x, y)=0, \\
g(x, y)=0,
\end{cases}\]
dove \(\lambda\) è uno scalare. Anche qui, stiamo in realtà definendo un insieme:
\[
S_2:=\{(x, y) \text{ che verificano }(2)\}.\]
Ora risulta che \(S_1=S_2\); si dice che i due sistemi sono equivalenti. Infatti, se \((x, y)\in S_1\), allora \(g(x, y)=0\) e perciò \(f(x, y)+\lambda g(x, y)=f(x, y)=0\). Questo dimostra che \(S_1\subset S_2\). D'altra parte, se \((x, y)\in S_2\), seguendo lo stesso ragionamento vediamo che \(f(x, y)=0\) e \(g(x, y)=0\), quindi \((x, y)\in S_1\). Questo dimostra che \(S_2\subset S_1\).
Allo stesso modo si può ragionare su prodotto e quoziente di equazioni.
~~~~~
Queste cose in realtà andrebbero imparate alle superiori. Ma lì siamo troppo occupati a ripetere procedimenti meccanici per soffermarci su questi fondamenti logici. Questo porta ad un apprendimento "instabile": se un problema si scosta da un problema conosciuto, anche solo per una virgola, non siamo più in grado di applicare le nostre procedure meccaniche.
La soluzione è fermarsi a riflettere. Da studente universitario ho passato molto tempo in riflessioni simili a quelle di questo post.
\[\tag{1}
\begin{cases}
f(x, y)=0, \\
g(x, y)=0.
\end{cases}\]
Se \(f\) e \(g\) sono funzioni lineari, questo è un sistema lineare, ma non lo stiamo richiedendo qui.
Come tutte le equazioni, il sistema (1) è in realtà l'assegnazione di un insieme, l'insieme delle sue soluzioni:
\[
S_1:=\{(x, y) \text{ che verificano }(1)\}.\]
Ora consideriamo un altro sistema:
\[\tag{2}
\begin{cases}
f(x, y)+\lambda g(x, y)=0, \\
g(x, y)=0,
\end{cases}\]
dove \(\lambda\) è uno scalare. Anche qui, stiamo in realtà definendo un insieme:
\[
S_2:=\{(x, y) \text{ che verificano }(2)\}.\]
Ora risulta che \(S_1=S_2\); si dice che i due sistemi sono equivalenti. Infatti, se \((x, y)\in S_1\), allora \(g(x, y)=0\) e perciò \(f(x, y)+\lambda g(x, y)=f(x, y)=0\). Questo dimostra che \(S_1\subset S_2\). D'altra parte, se \((x, y)\in S_2\), seguendo lo stesso ragionamento vediamo che \(f(x, y)=0\) e \(g(x, y)=0\), quindi \((x, y)\in S_1\). Questo dimostra che \(S_2\subset S_1\).
Allo stesso modo si può ragionare su prodotto e quoziente di equazioni.
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Queste cose in realtà andrebbero imparate alle superiori. Ma lì siamo troppo occupati a ripetere procedimenti meccanici per soffermarci su questi fondamenti logici. Questo porta ad un apprendimento "instabile": se un problema si scosta da un problema conosciuto, anche solo per una virgola, non siamo più in grado di applicare le nostre procedure meccaniche.
La soluzione è fermarsi a riflettere. Da studente universitario ho passato molto tempo in riflessioni simili a quelle di questo post.
"dissonance":
Queste cose in realtà andrebbero imparate alle superiori.
Ma sono insegnate alle superiori ... io ho quasi sempre trovato sui libri "queste cose" (magari non in modo così formale come hai scritto tu ma concettualmente equivalenti); il fatto è che lo studente le "bypassa" tranquillamente (nella maggioranza dei casi)
Cordialmente, Alex
Certamente, io infatti ho detto che andrebbero imparate, non che andrebbero insegnate. So bene che qualsiasi insegnante degno o degna di questo nome le spiega (purtroppo non sempre, o non sempre in modo chiaro, ma così è la vita).
Comunque, è sempre un bene re-imparare le basi. Terry Tao dice: "re-learn your field": https://terrytao.wordpress.com/career-a ... our-field/
Comunque, è sempre un bene re-imparare le basi. Terry Tao dice: "re-learn your field": https://terrytao.wordpress.com/career-a ... our-field/
"dissonance":
Certamente, io infatti ho detto che andrebbero imparate, non che andrebbero insegnate.
E io l'avevo chiaramente notato, difatti ho sottolineato il fatto che vengono insegnate perché volevo evitare che il tuo messaggio venisse frainteso ovvero che l'invito agli studenti alla riflessione fosse invece recepito come un'altra critica ai docenti.
Cordialmente, Alex
Alle superiori il caso più classico è l'intersezione tra due circonferenze, o tra due coniche più generali, che però non funziona sempre, perché è difficile riuscire ad eliminare una delle variabili o i termini di secondo grado.
Per il rapporto tra due righe, bisogna aggiungere le condizioni di esistenza e controllare a parte i valori esclusi.
Per il rapporto tra due righe, bisogna aggiungere le condizioni di esistenza e controllare a parte i valori esclusi.
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