Si ponga [c,d]=im(f) e sia g(y):[c,d]->R la funzione inversa

[villanisilvia]

Buongiorno, mi trovo in difficoltà a capire un passaggio del seguente esercizio:

Sia \(\displaystyle f(x)=min(7x+7;7+x^2),\forall x\in [-1,1] \), dove \(\displaystyle min(7x+7;7+x^2) \) denota, al variare di \(\displaystyle x \) in \(\displaystyle [-1,1] \), il minimo fra i due numeri \(\displaystyle 7x+7 \) e \(\displaystyle 7+x^2 \). Si ponga \(\displaystyle [c,d]=im(f)=f([-1,1]) \), dove \(\displaystyle c Si ponga infine \(\displaystyle J=\int_{c}^{d}\left | g(y) \right | dy \). Allora quanto vale \(\displaystyle 6J \)?

Il passaggio in questione è quello in grassetto.
La funzione \(\displaystyle f(x) \) è: http://fooplot.com/plot/ho765wo6qm (ho evidenziato l'andamento con i punti rossi). So che è una funzione iniettiva ( \(\displaystyle 7+x^2 \) è iniettiva in \(\displaystyle (0,+\infty) \)) e quindi invertibile. Però non capisco cosa si intende con: "si ponga \(\displaystyle [c,d]=im(f)=f([-1,1]) \)". Ho provato a calcolare \(\displaystyle f(-1) \) e \(\displaystyle f(1) \) e poi di verificare l'intervallo di appartenenza delle funzioni. Ho provato anche a ragionare in questo modo: l'inversa di una funzione del tipo \(\displaystyle f(x)=min(7x+7;7+x^2) \) è \(\displaystyle f(x)=max(7x+7;7+x^2) \), ma non penso di essere sulla strada giusta in nessuno dei due casi. Mi sapreste dare una mano?
Grazie in anticipo.

[Sk_Anonymous]

[villanisilvia]

Deduco che l'intervallo \(\displaystyle [c,d] \) sia \(\displaystyle [-1,1] \), e, concettualmente, ci sono. Tuttavia mi sufgge il \(\displaystyle \frac{2}{3} \) anteposto all'area del quadrato. Come l'hai calcolata esattamente?

[Sk_Anonymous]

Si tratta di un famoso risultato (risalente ad Archimede, pensa un po' !) sul settore parabolico. Puoi anche arrivarci
direttamente col calcolo infinitesimale :
Area settore parabolico= $int_7^8sqrt{y-7}dy$
[Il settore parabolico in questione è la parte di piano racchiusa dalla parabola $y=x^2+7$ e dalle rette
di equazione $x=0$ e $y=8$ ]

[villanisilvia]

Tutto chiaro! Grazie della pronta risposta, mi sei stato di grande aiuto