Sfruttare l'identità di Parseval per calcolare la somma di una serie

[qwertyce1]

Metto in corsivo il testo dell'esercizio:

Calcolare la serie di Fourier associata al prolungamento periodico della funzione definita come

${(-2 if -pi<=x<0),(2 if 0<=x
fatto: $f(x)= -4/pi sum_{k=1}^{+infty} ((-1)^k-1) sin(k x)/k$

studiarne la convergenza, scrivere l'identità di Parseval e sfruttare i risultati ottenuti per calcolare la somma delle seguenti serie numeriche:

$sum_{k=0}^{+infty} 1/(2k+1)^2$
$sum_{k=0}^{+infty} (-1)^k/(2k+1)$

per la prima serie è stato facile, questa è l'identità di Parseval:

$int_{-pi}^{+pi} |f(x)|^2 dx = pi (a_0^2/2 + sum_{k=1}^{+infty} (a_k^2 + b_k^2) ) $

$int_{-pi}^{+pi} |f(x)|^2 dx= 2 int_0^pi 4 dx = 8 pi$

dato che l'unico coefficiente non nullo nella serie di Fourier è: $b_k= -4/(pi k) ((-1)^k-1)$, allora:

$ pi (a_0^2/2 + sum_{k=1}^{+infty} (a_k^2 + b_k^2) ) = pi sum_{k=1}^{+infty} 16/(pi^2 k^2) ((-1)^k-1)^2 = 64/pi sum_{k=0}^{+infty} 1/(2k+1)^2$

(nell'ultimo passaggio ho escluso i termini con indice pari perché nulli)

quindi si ha: $sum_{k=0}^{+infty} 1/(2k+1)^2=pi^2 / 8$

e il risultato è confermato da Wolfram, ma vado ora in difficoltà per l'altra serie di cui devo calcolare la somma:

$sum_{k=0}^{+infty} (-1)^k/(2k+1)$

se ho capito bene per calcolarne la somma è sufficiente sfruttare questa questa equazione (di Parseval):

$ 8 pi = 16/ pi^2 pi sum_{k=0}^{+infty} (((-1)^k-1)/k)^2$

sviluppando il quadrato nel termine generale della serie, e sfruttando il risultato ottenuto per la precedente serie, credo che riuscirei a calcolare la somma della serie $sum_{k=0}^{+infty} (-1)^k/(2k+1)^2$ , ma rimarrebbe ancora il quadrato al denominatore... che ne pensate?

[qwertyce1]

credo d'aver risolto, spiego come:

prima di tutto riscrivo meglio la serie di Fourier considerando che solo i termini con indice dispari sono non nulli:

$((-1)^k-1)={(-2 if k = 2n+1),(0 if k=2n):}$ ; $n \in NN$

$f(x)= -4/pi sum_{k=1}^{+infty} ((-1)^k-1) sin(k x)/k= 8/pi sum_{n=0}^{+infty} sin((2n+1)x) / (2n+1)$

a questo punto noto la somiglianza tra $sin((2n+1)x)$ e $(-1)^n$ della serie $sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/(2n+1)$ di cui devo calcolare la somma, in particolare noto che queste due espressioni coincidono se $x=pi/2$, da ciò deduco che posso calcolare la somma di quella serie utilizzando la serie di Fourier nel punto $x=pi/2$, cioè non è necessario utilizzare l'identità di Parseval in questo.

$f(pi/2)=8/pi sum_{n=0}^{+infty} sin((2n+1) pi/2) / (2n+1)=8/pi sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/(2n+1)$

per la convergenza puntuale della serie di Fourier: $f(pi/2)=2$, quindi:

$sum_{n=0}^{+infty} (-1)^n/(2n+1)= pi/4$