Sezioni di Dedekind e i numeri reali

[Ariz93]

Studiando sul libro,appunti e sgooglando ho capito che le sezioni di Dedekind(per come sono state definite ) :

$(A;B)$ t.c. :
$ A,B \subset QQ $
$ A \cup B= QQ$
$ A \cap B =\emptyset $

tc $A$ non ha massimo e $B$ non ha minimo , definiamo il numero reale come l'elemento separatore di questa sezione ma come sappiamo che esiste ed è unico questo numero?
(credo che la domanda sia ben posta dicendo se esiste una funzione biunivoca dalle sezioni di $QQ$ e i numeri reali).
Grazie anticipata,ente per l'aiuto offertomi.
Stefano.

[gugo82]

Innanzitutto, \(B\) non è che non ha minimo, ma può non avere minimo; è \(A\) che non deve avere massimo.
Insomma, la definizione corretta di sezione è: \(A,B\subseteq Q\), \(A\cup B=\mathbb{Q}\), \(A\cap B=\varnothing\) ed \(A\) è privato dell'eventuale massimo.

L'esistenza del numero separatore, ovviamente, non è garantita da nessuno (a meno che tu non abbia già costruito \(\mathbb{R}\) e stia cercando di costruirne a posteriori un modello).

[Ariz93]

"gugo82":Innanzitutto, \(B\) non è che non ha minimo, ma può non avere minimo; è \(A\) che non deve avere massimo.
Insomma, la definizione corretta di sezione è: \(A,B\subseteq Q\), \(A\cup B=\mathbb{Q}\), \(A\cap B=\varnothing\) ed \(A\) è privato dell'eventuale massimo.

Come mai su B possiamo anche avere un minimo? Non c'è ambiguità nella definizione?Cioè (nel nostro caso) volgiamo definire l'irrazionale come colui che non appartiene ai razionali ma che esiste "sulla retta" da qui si deduce che se prendo una sezione di Dedekind e voglio definire un irrazionale B non può avere minimo altrimenti questo irrazionale può appartenere a B.
Capisco che la definizione è "a priori" e non gliene frega nulla dei nostri scopi di costruzione del modello..però facendo in questo modo non credo che questa definizione sia "ad hoc" per la costruzione dei reali.

"gugo82":L'esistenza del numero separatore, ovviamente, non è garantita da nessuno (a meno che tu non abbia già costruito \(\mathbb{R}\) e stia cercando di costruirne a posteriori un modello).

Sul fatto che non ce lo garantisca nessuno sono d'accordo. Quando dici "a meno che tu non abbia già costruito \(\mathbb{R}\) e stia cercando di costruirne a posteriori un modello" Intendi (ad esempio) la dimostrazione dell'esistenza e dell'unicità della radice ennesima di un numero razionale?

grazie per l'attenzione Gugo.

[gio73]

"Ariz93":
$ A \cap B ={ \emptyset } $

Se vuoi indicare semplicemente l'insieme vuoto puoi scrivere
$ { } $, oppure $ \emptyset $, ma
$ { \emptyset } $
credo che significhi un insieme che contiene un elemento che è l'insieme vuoto.

[Ariz93]

graszie gio , ora correggo.

[gugo82]

"Ariz93":[quote="gugo82"]Innanzitutto, \(B\) non è che non ha minimo, ma può non avere minimo; è \(A\) che non deve avere massimo.
Insomma, la definizione corretta di sezione è: \(A,B\subseteq Q\), \(A\cup B=\mathbb{Q}\), \(A\cap B=\varnothing\) ed \(A\) è privato dell'eventuale massimo.

Come mai su B possiamo anche avere un minimo?[/quote]
Esempio: la coppia costituita dagli insiemi:
\[
A_1:=\{p\in \mathbb{Q}:\ x<0\},\ B_1:=\{x\in \mathbb{Q}:\ x\geq 0\}
\]
è una sezione e \(B_1\) è dotato di minimo; ma anche la coppia:
\[
A_2:=\{p\in \mathbb{Q}:\ x<0\text{ oppure } x^2<2 \},\ B_2:=\{x\in \mathbb{Q}:\ x\geq 0 \text{ e } x^2\geq 2\}
\]
è una sezione e però \(B_2\) non è dotato di minimo (come puoi facilmente dimostrare).

"Ariz93":Non c'è ambiguità nella definizione? Cioè (nel nostro caso) volgiamo definire l'irrazionale come colui che non appartiene ai razionali ma che esiste "sulla retta" da qui si deduce che se prendo una sezione di Dedekind e voglio definire un irrazionale B non può avere minimo altrimenti questo irrazionale può appartenere a B.

Un numero irrazionale non è \(B\) e non è nemmeno il minimo di \(B\) (perché in tal caso non esisterebbe minimo in \(\mathbb{Q}\), come nel caso di \(B_2\))... Forse devi ancora capire bene ciò che vuoi fartene delle sezioni.

Quello che vogliamo fare è creare un ampliamento di \(\mathbb{Q}\).
Per far ciò abbiamo bisogno di "uscire" da \(\mathbb{Q}\), sicché non sarà più concesso pensare ai numeri razionali come semplici elementi di \(\mathbb{Q}\).

Ciò che si fa è costruire le sezioni \(a:=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\), in cui \(A\subset \mathbb{Q}\) è privato dell'eventuale massimo e \(\mathbb{Q}\setminus A\) è l'insieme dei maggioranti di \(A\) (questa definizione con \(\mathbb{Q}\setminus A\) al posto di \(B\) è del tutto equivalente a quella che hai riportato).
Si prova che sull'insieme di queste sezioni, che si denota con \(\mathbb{R}\), è possibile definire delle operazioni di somma e prodotto che lo rendono un campo; tale campo si chiama campo dei numeri reali.

Infine, si prova che esiste un sottocampo proprio \(Q\subset \mathbb{R}\) che è isomorfo a \(\mathbb{Q}\): tale sottocampo è quello costituito da tutti i numeri reali \(a=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\) caratterizzati dalla proprietà "\(\mathbb{Q}\setminus A\) è dotato di minimo in \(\mathbb{Q}\)" e l'isomorfismo è dato da:
\[
Q\ni a=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\mapsto \min(\mathbb{Q}\setminus A) \in \mathbb{Q}\; .
\]
Ovviamente, col solito procedimento puoi identificare \(\mathbb{Q}\) con \(Q\) e con abuso di notazione scrivere \(\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\).

A questo punto, sai che \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) non è vuoto (perché \(\mathbb{Q}\) è un sottocampo proprio) e chiami i suoi elementi numeri irrazionali. Dato l'isomorfismo stabilito sopra, puoi ben dire che un numero reale \(a=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\) è irrazionale se e solo se \(\mathbb{Q}\setminus A\) non è dotato di minimo in \(\mathbb{Q}\).

Conseguentemente, i due numeri reali identificati dalle sezioni \(o=(A_1,B_1)=(A_1,\mathbb{Q}\setminus A_1)\) e \(d=(A_2,B_2)=(A_2,\mathbb{Q}\setminus A_2)\) sono il primo razionale ed il secondo irrazionale.
In particolare, \(o=(A_1,B_1)\) è lo zero di \(\mathbb{R}\) (i.e., l'elemento neutro rispetto alla somma), mentre \(d=(A_2,B_2)\) è l'unico numero che (per la definizione del prodotto su \(\mathbb{R}\)) gode della proprietà \(d^2=2\): tale numero di denota usualmente col simbolo \(\sqrt{2}\).

"Ariz93":Capisco che la definizione è "a priori" e non gliene frega nulla dei nostri scopi di costruzione del modello..però facendo in questo modo non credo che questa definizione sia "ad hoc" per la costruzione dei reali.

Non capisco cosa vuoi dire...

"Ariz93":[quote="gugo82"]L'esistenza del numero separatore, ovviamente, non è garantita da nessuno (a meno che tu non abbia già costruito \(\mathbb{R}\) e stia cercando di costruirne a posteriori un modello).

Sul fatto che non ce lo garantisca nessuno sono d'accordo. Quando dici "a meno che tu non abbia già costruito \(\mathbb{R}\) e stia cercando di costruirne a posteriori un modello" Intendi (ad esempio) la dimostrazione dell'esistenza e dell'unicità della radice ennesima di un numero razionale?[/quote]
Sugli insiemi numerici ci sono due scuole di pensiero.
La prima, che chiamo costruttivista, parte dagli assiomi di Peano e da lì con ampliamenti successivi costruisce \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) ed \(\mathbb{R}\) (e poi \(\mathbb{C}\)).

L'altra, che chiamo assiomatista, fornisce all'inizio un'assiomatizzazione di \(\mathbb{R}\) e solo in seguito si preoccupa di definire \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\) come opportuni sottoinsiemi di \(\mathbb{R}\) e di fornire un modello per il campo reale \(\mathbb{R}\).

Questo intendevo quando parlavo di modello.
Tu quale approccio stai seguendo?

[Ariz93]

Allora hai quasi disciolto tutti i miei dubbi ti snervo ancora per qualche dubbio che ho:

"gugo82":
Esempio: la coppia costituita dagli insiemi:
\[
A_1:=\{p\in \mathbb{Q}:\ x<0\},\ B_1:=\{x\in \mathbb{Q}:\ x\geq 0\}
\]
è una sezione e \(B_1\) è dotato di minimo;

e qui ci sono...

"gugo82":ma anche la coppia:
\[
A_2:=\{p\in \mathbb{Q}:\ x<0\text{ oppure } x^2<2 \},\ B_2:=\{x\in \mathbb{Q}:\ x\geq 0 \text{ e } x^2\geq 2\}
\]
è una sezione e però \(B_2\) non è dotato di minimo (come puoi facilmente dimostrare).

non so ma qua non mi tornano le cose .sembra che in b il minimo sia lo 0 non sarebbe giusto scrivere:
$B_2:=\{x\in \mathbb{Q}:x^2 > 2\}$??

"gugo82":
Quello che vogliamo fare è creare un ampliamento di \(\mathbb{Q}\).
Per far ciò abbiamo bisogno di "uscire" da \(\mathbb{Q}\), sicché non sarà più concesso pensare ai numeri razionali come semplici elementi di \(\mathbb{Q}\).

Ciò che si fa è costruire le sezioni \(a:=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\), in cui \(A\subset \mathbb{Q}\) è privato dell'eventuale massimo e \(\mathbb{Q}\setminus A\) è l'insieme dei maggioranti di \(A\) (questa definizione con \(\mathbb{Q}\setminus A\) al posto di \(B\) è del tutto equivalente a quella che hai riportato).
Si prova che sull'insieme di queste sezioni, che si denota con \(\mathbb{R}\), è possibile definire delle operazioni di somma e prodotto che lo rendono un campo; tale campo si chiama campo dei numeri reali.

Infine, si prova che esiste un sottocampo proprio \(Q\subset \mathbb{R}\) che è isomorfo a \(\mathbb{Q}\): tale sottocampo è quello costituito da tutti i numeri reali \(a=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\) caratterizzati dalla proprietà "\(\mathbb{Q}\setminus A\) è dotato di minimo in \(\mathbb{Q}\)" e l'isomorfismo è dato da:
\[
Q\ni a=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\mapsto \min(\mathbb{Q}\setminus A) \in \mathbb{Q}\; .
\]
Ovviamente, col solito procedimento puoi identificare \(\mathbb{Q}\) con \(Q\) e con abuso di notazione scrivere \(\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\).

A questo punto, sai che \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) non è vuoto (perché \(\mathbb{Q}\) è un sottocampo proprio) e chiami i suoi elementi numeri irrazionali. Dato l'isomorfismo stabilito sopra, puoi ben dire che un numero reale \(a=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\) è irrazionale se e solo se \(\mathbb{Q}\setminus A\) non è dotato di minimo in \(\mathbb{Q}\).

Perfetto qui ho capito tutto è una vera e propria costruzione.(assiomatica giusto? avendo definito $RR$ di conseguenza si notano $QQ,ZZ,NN$

"gugo82":
Sugli insiemi numerici ci sono due scuole di pensiero.
La prima, che chiamo costruttivista, parte dagli assiomi di Peano e da lì con ampliamenti successivi costruisce \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) ed \(\mathbb{R}\) (e poi \(\mathbb{C}\)).

L'altra, che chiamo assiomatista, fornisce all'inizio un'assiomatizzazione di \(\mathbb{R}\) e solo in seguito si preoccupa di definire \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\) come opportuni sottoinsiemi di \(\mathbb{R}\) e di fornire un modello per il campo reale \(\mathbb{R}\).

Questo intendevo quando parlavo di modello.
Tu quale approccio stai seguendo?

Allora a me piace assolutamente di più la costruzione che parte dagli assiomi di Peano (anche se dovrei essere imparziale ma preferisco partire dalle fondamenta che dal tetto ). Però il mio professore ha usato l'assiomatizzazione.
Ps: una curiosità hai un pdf serio e a tuo parere buono sul passaggio da $QQ$ a $RR$ secondo la scuola di pensiero costruttivista?

[gugo82]

"Ariz93":Allora hai quasi disciolto tutti i miei dubbi ti snervo ancora per qualche dubbio che ho:
[quote="gugo82"]
Esempio: la coppia costituita dagli insiemi:
\[
A_1:=\{p\in \mathbb{Q}:\ x<0\},\ B_1:=\{x\in \mathbb{Q}:\ x\geq 0\}
\]
è una sezione e \(B_1\) è dotato di minimo;

e qui ci sono...

"gugo82":ma anche la coppia:
\[
A_2:=\{p\in \mathbb{Q}:\ x<0\text{ oppure } x^2<2 \},\ B_2:=\{x\in \mathbb{Q}:\ x\geq 0 \text{ e } x^2\geq 2\}
\]
è una sezione e però \(B_2\) non è dotato di minimo (come puoi facilmente dimostrare).

non so ma qua non mi tornano le cose .sembra che in b il minimo sia lo 0 non sarebbe giusto scrivere:
$B_2:=\{x\in \mathbb{Q}:x^2 > 2\}$??[/quote]
Ragiona... Secondo te \(0\) appartiene all'insieme \(B_2\) come l'ho definito?
Se, invece, \(B_2\) fosse quello che hai scritto, dove starebbe \(x=-2\)?

"Ariz93":[quote="gugo82"]
Quello che vogliamo fare è creare un ampliamento di \(\mathbb{Q}\).
Per far ciò abbiamo bisogno di "uscire" da \(\mathbb{Q}\), sicché non sarà più concesso pensare ai numeri razionali come semplici elementi di \(\mathbb{Q}\).

Ciò che si fa è costruire le sezioni \(a:=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\), in cui \(A\subset \mathbb{Q}\) è privato dell'eventuale massimo e \(\mathbb{Q}\setminus A\) è l'insieme dei maggioranti di \(A\) (questa definizione con \(\mathbb{Q}\setminus A\) al posto di \(B\) è del tutto equivalente a quella che hai riportato).
Si prova che sull'insieme di queste sezioni, che si denota con \(\mathbb{R}\), è possibile definire delle operazioni di somma e prodotto che lo rendono un campo; tale campo si chiama campo dei numeri reali.

Infine, si prova che esiste un sottocampo proprio \(Q\subset \mathbb{R}\) che è isomorfo a \(\mathbb{Q}\): tale sottocampo è quello costituito da tutti i numeri reali \(a=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\) caratterizzati dalla proprietà "\(\mathbb{Q}\setminus A\) è dotato di minimo in \(\mathbb{Q}\)" e l'isomorfismo è dato da:
\[
Q\ni a=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\mapsto \min(\mathbb{Q}\setminus A) \in \mathbb{Q}\; .
\]
Ovviamente, col solito procedimento puoi identificare \(\mathbb{Q}\) con \(Q\) e con abuso di notazione scrivere \(\mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\).

A questo punto, sai che \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) non è vuoto (perché \(\mathbb{Q}\) è un sottocampo proprio) e chiami i suoi elementi numeri irrazionali. Dato l'isomorfismo stabilito sopra, puoi ben dire che un numero reale \(a=(A,\mathbb{Q}\setminus A)\) è irrazionale se e solo se \(\mathbb{Q}\setminus A\) non è dotato di minimo in \(\mathbb{Q}\).

Perfetto qui ho capito tutto è una vera e propria costruzione.(assiomatica giusto? avendo definito $RR$ di conseguenza si notano $QQ,ZZ,NN$[/quote]
No.
Quella che ho descritto è la costruzione di \(\mathbb{R}\) a partire da \(\mathbb{Q}\); quindi non c'è nulla di assiomatico.
Anzi, questo è l'ultimo passo dell'approccio costruttivista.

"Ariz93":[quote="gugo82"]
Sugli insiemi numerici ci sono due scuole di pensiero.
La prima, che chiamo costruttivista, parte dagli assiomi di Peano e da lì con ampliamenti successivi costruisce \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Q}\) ed \(\mathbb{R}\) (e poi \(\mathbb{C}\)).

L'altra, che chiamo assiomatista, fornisce all'inizio un'assiomatizzazione di \(\mathbb{R}\) e solo in seguito si preoccupa di definire \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\) come opportuni sottoinsiemi di \(\mathbb{R}\) e di fornire un modello per il campo reale \(\mathbb{R}\).

Questo intendevo quando parlavo di modello.
Tu quale approccio stai seguendo?

Allora a me piace assolutamente di più la costruzione che parte dagli assiomi di Peano (anche se dovrei essere imparziale ma preferisco partire dalle fondamenta che dal tetto ). Però il mio professore ha usato l'assiomatizzazione.
Ps: una curiosità hai un pdf serio e a tuo parere buono sul passaggio da $QQ$ a $RR$ secondo la scuola di pensiero costruttivista?[/quote]
Pdf no... Tanto ormai queste cose sono trascurate quasi dappertutto.
Per un piccolo approfondimento, puoi vedere questo mio vecchio post.

[Ariz93]

Guarda gugo ho capito praticamente tutto, cioè la costruzione à la Peano, però credo di avere dei seri problemi qui.

"gugo82":$B_2:=\{x\in \mathbb{Q}:x^2 > 2\}$??
Ragiona... Secondo te \(0\) appartiene all'insieme \(B_2\) come l'ho definito?
Se, invece, \(B_2\) fosse quello che hai scritto, dove starebbe \(x=-2\)?

per come l'hai definito te si sembra di si..ti scrivo il mio ragionamento:

se $B_2:=\{x\in \mathbb{Q}:x >= 0 e x^2 > 2\}$

quel maggiore o uguale a zero mi fa pensare che zero appartiene a $B_2$ in quanto al -2 dovrebbe stare in $A_2$..

[Plepp]

"Ariz93":Guarda gugo ho capito praticamente tutto, cioè la costruzione à la Peano, però credo di avere dei seri problemi qui.
[quote="gugo82"]$B_2:=\{x\in \mathbb{Q}:x^2 > 2\}$??
Ragiona... Secondo te \(0\) appartiene all'insieme \(B_2\) come l'ho definito?
Se, invece, \(B_2\) fosse quello che hai scritto, dove starebbe \(x=-2\)?

per come l'hai definito te si sembra di si..ti scrivo il mio ragionamento:

se $B_2:=\{x\in \mathbb{Q}:x \le 0 e x^2 > 2\}$

quel maggiore o uguale a zero mi fa pensare che zero appartiene a $B_2$ in quanto al -2 dovrebbe stare in $A_2$..[/quote]
Ti aiuta definire $B_2$ come "l'insieme dei numeri razionali non positivi il cui quadrato supera $2$" ?

[Ariz93]

Forse ho capito, il termine positivo ti dice che la x non dev'essere negativa altrimenti $A_2$ e $B_2$ non sarebbero completamente disgiunti cioè come dici tu $-2$ appartiene contemporaneamente ad $A_2$ e $B_2$, $0 \notin B_2$ perché $0^2 <2$, e B non è dotato di minimo perché $\sqrt{2} \notin QQ$.

[gugo82]

Ariz93: Non buttare risposte a casaccio. Ragiona.

[Ariz93]

Allora, ci riprovo(dopo averci pensato un bel pò)

"gugo82":
\[A_2:=\{p\in \mathbb{Q}:\ x<0\text{ oppure } x^2<2 \},\ B_2:=\{x\in \mathbb{Q}:\ x\geq 0 \text{ e } x^2\geq 2\}
\]
è una sezione e però \(B_2\) non è dotato di minimo (come puoi facilmente dimostrare).

Allora l'insieme A lo leggo come quei razionali negativi oppure il cui quadrato è minore di 2.
B lo leggo come quei razionali positivi (o 0) il cui quadrato è maggiore o uguale a 2.

Il minimo di B non è 0 come avevo detto io perché il suo quadrato non è maggiore o uguale a 2 ma è minore di due.
In quanto al meno 2 se $B$ fosse stato : $B_2 ={x \in QQ : x^2 >= 2 }$ il $-2$ sarebbe appartenuto a $B_2$ e ciò non va bene perché altrimenti $ A_2 \cap B_2 \neq \emptyset $ e quindi $(A$ \ $B)$ non sarebbe una sezione come volevamo che fosse.
Il ragionamento mi fila...se sbaglio qualcosa è meglio che inizio a sbattere le noci di cocco in testa .

In quanto alla costruzione di $RR$ il ragionamento quindi è definire qualcosa che "esca" da $QQ$ e che attraverso le sezioni (con o senza minimo di $QQ$ \ $A$) riempie tutti i buchi che aveva $QQ$ a causa degli irrazionali. Il mio modo di ragionare per passare da $QQ$ ad $RR$ era dal basso verso l'alto ma è il contrario!(giusto? ).

grazie infinite per la pazienza.

[gugo82]

Finalmente!

[Ariz93]

perfetto non me le scorderò più.

[ot]gugo già te lo avranno detto ma penso che data la tua capacità di capire a fondo le cose e di saperle spiegare impeccabilmente sei portatissimo per l'insegnamento! (fossi in te ci farei un pensierino) se riesci tramite il web a far capire questi conceti un pò più "astrusi" per uno studente in erba come me pensa faccia a faccia in una classe di studenti che (si spera) hanno sete di conoscenza![/ot]