Set Completo in $L^2(0,pi)$

[Zkeggia]

Salve, un esercizio mi chiede di verificare se il set $e^(2i*nx)$, con $n=0, 1,-1,2,-2...$ è completo in $(0,pi)$ e se lo è in $(0,2pi)$.


in $(0,2pi)$ lo è perché se considero le combinazioni $e_k+e_(-k)$ e $e_k - e_-k$ ottengo il set $cos(2npi),sin(2npi)$ che è completo in $(0,2pi)$... ma per $(0,pi)$ non riesco a trovare un'idea... qualche suggerimento?

[gugo82]

Come fa [tex]$\mathcal{S} :=\{ \cos 2n x, \sin 2n x\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex] ad essere un sistema completo in [tex]$L^2([0,2\pi ])$[/tex]?

Ad esempio, la funzione [tex]$\sin x$[/tex] non è nulla ed è ortogonale a tutte le funzioni di [tex]$\mathcal{S}$[/tex]. Ciò non sarebbe possibile se [tex]$\mathcal{S}$[/tex] fosse completo (perchè?), quindi...

[Zkeggia]

Già il set non è completo, altrimenti l'unica funzione ortogonale a tutte quelle del set sarebbe la funzione nulla... ma allora come faccio a sapere in $(0,pi)$ se è completo? l'unica cosa che mi viene in mente è cercare una funzione diversa dalla nulla che sia ortogonale a tutte, quindi per esempio come dici tu $sinx$ andrebbe bene, infatti $int_0^(pi) sinx(cos2nx + isen2nx)= 0$. In generale il metodo più veloce è quello di cercarsi la funzione ortogonale? perché in molti esercizi si chiede di verificare se un set è completo o meno e io non so come fare, proprio perché non mi viene in mente una funzione ortogonale a tutte quelle del set... credevo ci fosse un qualche trucchetto per vederle almeno ad occhio.

[gugo82]

Mmmm... Forse però puoi provare un trucchetto.

Ricorda che [tex]$\int_0^\pi f(x)\ \overline{g}(x) \ \text{d} x =\frac{1}{2} \ \int_0^{2\pi} f(\tfrac{y}{2})\ \overline{g} (\tfrac{y}{2}) \ \text{d} y$[/tex], sicché se poni [tex]$\varphi (y) :=f(y/2)$[/tex] e [tex]$\psi (y):=g(y/2)$[/tex] trovi:

[tex]$\int_0^\pi f(x)\ \overline{g}(x) \ \text{d} x =\frac{1}{2} \ \int_0^{2\pi} \varphi(y)\ \overline{\psi} (y) \ \text{d} y$[/tex].

In altre parole, il prodotto scalare di due funzioni [tex]$f,g$[/tex] in [tex]$L^2([0,\pi])$[/tex] è proporzionale al prodotto scalare in [tex]$L^2([0,2\pi])$[/tex] delle funzioni [tex]$\varphi ,\psi$[/tex] ottenute riscalando la variabile.

Ad esempio, alla funzione [tex]$f_n(x):=\sin 2n x$[/tex] corrisponde proprio [tex]$\varphi_n(y) =\sin ny$[/tex] (la quale è elemento del sistema trigonometrico, che è completo in [tex]$L^2([0,2\pi])$[/tex])... Quindi credo che questa sia la strada giusta.

[Zkeggia]

cioè in pratica dici che, siccome ${sin(nx),cos(nx)}$ è set completo in $L^2([0,2pi])$ allora, considerando che $int_0^(2pi)sin(nx)= 2int_o^(pi)sin(2nx)dx$ (stessa cosa per il coseno) otterrei appunto un set del tipo $(sin2nx,cos2nx)$ che a sua volta sarà set completo in $L^2([0,pi])$, proprio perché il set di partenza è completo in $L^2([0,2pi])$ ? Infatti data una funzione ortogonale al nuovo set, ponendo la sostituzione fatta da te, si deve necessariamente giungere a una funzione ortogonale a quella del set di partenza ${sinnx,cosnx}$, ma siccome questo set è completo, l'unica funzione possibile è quella nulla. Torna?

[gugo82]

Esatto Zkeggia, l'idea è proprio quella.
Ora devi provare a formalizzare bene, ma credo che non ci siano troppi problemi.


P.S.: Ripensandoci un problemino c'è...
Infatti, se prendi brutalmente [tex]$f\in L^2([0,\pi])$[/tex], non sei in una situazione "buona" per applicare il teorema di sostituzione per gli integrali definiti (almeno non nella forma che conosci da Analisi I) in modo da riportarti in [tex]$[0,2\pi]$[/tex].
Tuttavia questa difficoltà si può superare usando le funzioni continue o addirittura di classe [tex]$C^\infty ([0,\pi])$[/tex] e qualche risultato di densità (cioè tenendo presente che [tex]$C([0,\pi])$[/tex] e [tex]$C^\infty ([0,\pi])$[/tex] sono densi in [tex]$L^2([0,\pi])$[/tex]; questo fatto, rozzamente parlando, significa che ogni risultato valido per tutte le funzioni "abbastanza" regolari vale pure per tutte le funzioni [tex]$L^2$[/tex]).
Si tratta di giocare un po' con questi oggetti... Prova un po' e vedi che ne riesci a trarre.

[Zkeggia]

Quindi intendi che dal momento che ogni funzione in $L^2(I)$ coincide con la sua serie di fourier rispetto a un set di funzioni derivabili infinite volte con derivata continua, posso tranquillamente applicare il teorema di sostituzione?

Un altro caso che mi viene in mente riguardo i set completi. Se io ho un set del tipo ${sin(nx),cos(nx)}$ in $L^2([0,2pi])$ con n che va da 0 a infinito, il set ${sin(nx)+cos(nx)}$ è completo? Stavolta la funzione $sin(x/2)$ non funziona... ho provato a imporre che esista una funzione z ortogonale a tutte le funzioni del set, ma non ricavo altro che:

$int_I z*sin(nx)dx = - int_I z cos(nx)dx$, ma non mi pare una condizione buona per dire qualcosa di z...

suggerimenti?

[gugo82]

No Zkeggia, mi hai frainteso.
Volevo proprio suggerire che la completezza di [tex]$\{ 1\}\cup \{ \sin 2nx, \cos 2nx\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex] in [tex]$L^2([0,\pi])$[/tex] si può dimostrare con un cambiamento di variabili a con un risultato di densità.

Metto in spoiler una possibile dimostrazione.

L'idea era una dimostrazione per assurdo, o qualcosa di simile.

Dim.: Presa [tex]$f\in L^2([0,\pi])$[/tex] per densità esiste una successione [tex]$(f_n) \subseteq C([0,\pi])$[/tex] tale che [tex]$f_n\to f$[/tex] in [tex]$||\cdot||_{2,[0,\pi]}$[/tex], ossia tale che:

[tex]$\lim_n \int_0^\pi |f_n(x)-f(x)|^2\ \text{d} x =0$[/tex]

e, ovviamente, risulta pure:

(a) [tex]$\lim_{n,m} \int_0^\pi |f_n(x)-f_m(x)|\ \text{d} x =0$[/tex] (condizione di Cauchy per [tex]$(f_n)$[/tex]);

per la continuità del prodotto scalare in [tex]$L^2([0,\pi])$[/tex] so che comunque prendo [tex]$u \in S:=\{ 1\}\cup \{ \sin 2n x, \cos 2nx\}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex] ho pure:

(b) [tex]$\lim_n \int_0^\pi f_n(x) \ u(x)\ \text{d} x =\int_0^\pi f(x)\ u(x)\ \text{d} x$[/tex].

Ora gli integrali sotto al segno di limite in (a) sono nel senso di Riemann (poiché gli integrandi sono continui) quindi posso applicare il mio bel teorema di sostituzione negli integrali (proprio quello di Analisi I!): in particolare, facendo la sostituzione [tex]$y=2x$[/tex] trovo:

(A) [tex]$\lim_{n,m} \frac{1}{2} \ \int_0^{2\pi} |f_n(\tfrac{y}{2})-f_m(\tfrac{y}{2})|\ \text{d} y =0$[/tex]

cosicché la successione di termine generale [tex]$\varphi_n (y):=f_n(\tfrac{y}{2})$[/tex] è di Cauchy in [tex]$L^2([0,2\pi])$[/tex]; per completezza [tex]$(\varphi_n)$[/tex] converge, cioè esiste una [tex]$\varphi \in L^2([0,2\pi])$[/tex] tale che [tex]$\varphi_n \to \varphi$[/tex] in [tex]$||\cdot ||_{2,[0,2\pi ]}$[/tex].
Facendo la sostituzione negli integrali sotto il segno di limite in (b) (lecita perchè gli integrandi sono continui) e tenendo presente la continuità del prodotto scalare trovo:

[tex]$\lim_n \frac{1}{2} \ \int_0^{2\pi} f_n(\tfrac{y}{2}) \ u(\tfrac{y}{2})\ \text{d} y = \frac{1}{2} \ \lim_n \int_0^{2\pi} \varphi_n (y) \ \eta(y) \ \text{d} y =\frac{1}{2} \ \int_0^{2\pi} \varphi (y)\ \eta (y)\ \text{d} y$[/tex]

ove [tex]$\eta (y):=u(\tfrac{y}{2})$[/tex], quindi:

(*) [tex]$\int_0^\pi f(x)\ u(x)\ \text{d} x =\frac{1}{2} \ \int_0^{2\pi} \varphi (y)\ \eta (y)\ \text{d} y$[/tex]

Infine, detto [tex]$\Sigma :=\{ 1\}\cup \{ \sin ny,\ \cos ny \}_{n\in \mathbb{N}}$[/tex] il sistema trigonometrico di [tex]$L^2([0,2\pi])$[/tex], noto che l'applicazione:

[tex]$\mathfrak{F}: S \ni u(x) \mapsto u(\tfrac{y}{2})=\eta (y) \in \Sigma$[/tex]

è una biiezione tra [tex]$S$[/tex] e [tex]$\Sigma$[/tex].

Per assurdo, supponiamo che la funzione [tex]$f\in L^2([0,\pi])$[/tex] sia scelta [tex]$\neq 0 \text{ q.o. in $[0,\pi]$}$[/tex] ed ortogonale a tutte le funzioni di [tex]$S$[/tex]: la relazione (*) e le considerazioni circa il carattere di [tex]$\mathfrak{F}$[/tex] mi consentono di affermare che risulta:

[tex]$\int_0^{2\pi} \varphi (y) \ \eta(y)\ \text{d} y =0 \quad \text{per ogni $\eta \in \Sigma$}$[/tex];

la completezza del sistema trigonometrico [tex]$\Sigma$[/tex] mi consente di asserire che [tex]$\varphi =0$[/tex] in [tex]$[0,2\pi]$[/tex].

Da (a) ed (A), passando al limite su [tex]$m$[/tex], segue che per ogni fissato [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] abbastanza grande ho:

[tex]$\int_0^\pi |f_n(x) -f(x)|^2 \ \text{d} x= \lim_m \int_0^\pi |f_n(x) -f_m(x)|^2\ \text{d} x $[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2}\ \lim_m \int_0^{2\pi} |\varphi_n (y)-\varphi_m (y)|^2 \ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\frac{1}{2} \ \int_0^{2\pi} |\varphi_n (y)|^2 \ \text{d} y$[/tex]
[tex]$=\int_0^\pi |f_n(x)|^2\ \text{d} x$[/tex]

e da ciò, passando al limite su [tex]$n$[/tex] i membri esterni, ottengo:

[tex]$0=\lim_n \int_0^\pi |f_n(x) -f(x)|^2 \ \text{d} x= \lim_n \int_0^\pi |f_n(x)|^2\ \text{d} x =\int_0^\pi |f(x)|^2\ \text{d} x$[/tex],

ossia [tex]$||f||_{2,[0,\pi]} =0$[/tex] e quindi [tex]$f=0 \text{ q.o. in $[0,\pi]$}$[/tex].
Ma ciò è palesemente assurdo, in quanto avevo preso [tex]$f\neq 0 \text{ q.o. in $[0,\pi]$}$[/tex].

Pertanto l'unica funzione di [tex]$L^2([0,\pi])$[/tex] ad essere ortogonale ad ogni funzione di [tex]$S$[/tex] è la funzione nulla e, conseguentemente, [tex]$S$[/tex] è un sistema completo. [tex]$\square$[/tex]

Non so se la dimostrazione si può accorciare (probabilmente sì, visto che ho usato solo fatti elementari), ma credo sia grossomodo corretta.
Qualche parere?

[Zkeggia]

Mi pare buona, di sicuro credo sia corretta. Tra l'altro vale in generale, cioè presa una trasformazione lineare in generale si può trovare l'intervallo $I$ tale che il set {$cos(nf(x)),sin(nf(x))}$ sia completo in $L^2(I)$.

Invece per l'altra domanda? continuo a non avere idea di che procedimento utilizzare...

[gugo82]

Scusa, mi sono perso... Quale altra domanda?

[Zkeggia]

Un altro caso che mi viene in mente riguardo i set completi. Se io ho un set del tipo ${sin(nx),cos(nx)}$ in $L^2([0,2pi])$ con n che va da 0 a infinito, il set ${sin(nx)+cos(nx)}$ è completo? Stavolta la funzione $sin(x/2)$ non funziona... ho provato a imporre che esista una funzione z ortogonale a tutte le funzioni del set, ma non ricavo altro che:

$int_I z*sin(nx)dx = - int_I z cos(nx)dx$, ma non mi pare una condizione buona per dire qualcosa di z...

suggerimenti?

stavo pensando che considerando le combinazioni $e_k - e_(-k)$ e $e_k + e_(-k)$ il set dovrebbe diventare del tipo:

$2sin(nx), 2cos(nx)$, e siamo tornati al punto di partenza... pensi vada bene?

[Zkeggia]

eh no non posso farlo perché n va da 0, e non ci avevo pensato... non ho davvero idea allora