Servendosi del terorema di sostituzione degli infinitesimi:

[nico12345]

Provare che:

$\lim_{x \to 0^+}(sqrt(x)+tg^3x+sqrt(x)*sin^2(x))/(x+x^2*cos(x)-tg^2(x))=+infty$

Procedimento:

$\lim_{x \to 0^+}(sqrt(x)+x^3+sqrt(x)*x^2)/(x+x^2*cos(x)/x-x^2)=$

$=\lim_{x \to 0^+}(sqrt(x)+x^3+sqrt(x)*x^2)/(x+x^2-x^2)=$

$=\lim_{x \to 0^+}(sqrt(x)+sqrt(x)*x^2)/x=$ [...] poi non so continuare...

Provare che ancora:

$\lim_{x \to 0}(cos(x)-cos2x)/(1-cos(x))=3$

$=\lim_{x \to 0}(cos(x)-(1-2sen^2(x)))/(x^2/2)=$ se ho fatto bene...non lo so...non riesco ad andare avanti


Ed infine , provare che:

$\lim_{x \to 0^+}(ln(1+x^2)+tg(sqrt(x))+e^(-1/x)*sqrt(x))/(3*sqrt(x)+x*sen(x))=1/3$

$=\lim_{x \to 0^+}(x^2+sqrt(x)+1-1+e^(-1/x)*sqrt(x))/(3*sqrt(x)+x*(sen(x))/(x))=$

$=\lim_{x \to 0^+}(x^2+sqrt(x)+(-1/x)*sqrt(x))/(3*sqrt(x)+x)=$

$=\lim_{x \to 0^+}(sqrt(x)-1/x*sqrt(x))/(3*sqrt(x))=$ [...] poi?

[smaug1]

Per quanto riguarda il terzo limite si dovrebbe svolgere così:

\(\displaystyle \frac{cosx - cos2x}{\frac{x^2}{2}} \)\(\displaystyle = \)
\(\displaystyle = \)\(\displaystyle \frac{1 - \frac{x^2}{2} + o(x^2) - 1 - 2x^2 + o(x^2)}{\frac{x^2}{2}} \)\(\displaystyle = \)

\(\displaystyle = \)\(\displaystyle \frac{-\frac{5x^2}{2} + o(x^2)}{\frac{x^2}{2}} \)\(\displaystyle = \)
\(\displaystyle
= \) \(\displaystyle -5 \) è così? (chiedo ai veterani per la conferma...)

[Seneca1]

"NICKS23":
$=\lim_{x \to 0^+}(sqrt(x)+sqrt(x)*x^2)/x=$ [...] poi non so continuare...

$(sqrt(x))/x + (sqrt(x)*x^2)/x = (sqrt(x))/x + sqrt(x)*x -> +oo$ per $x -> 0^+$.

[Seneca1]

"davidedesantis":Per quanto riguarda il terzo limite si dovrebbe svolgere così:

In questo caso puoi anche fare $2 * (1 - cos(2x) - ( 1 - cos(x) ))/x^2 = 2 * (1 - cos(2x))/x^2 - 2 *( 1 - cos(x) )/x^2$

$ = 2 * 4 * (1 - cos(2x))/(2x)^2 - 2 *( 1 - cos(x) )/x^2 -> 2 * 4 * (1/2 ) - 2 (1/2) = 4 - 1 = 3$

[Seneca1]

"davidedesantis":$1 - x^2/2 + o(x^2) - 1 - 2x^2 + o(x^2)$

Al numeratore hai sbagliato un segno... E' $+ 2x^2$.

[nico12345]

$\lim_{x \to 0^+}(ln(1+x^2)+tg(sqrt(x))+e^(-1/x)*sqrt(x))/(3*sqrt(x)+x*sen(x))=1/3$

$=\lim_{x \to 0^+}(x^2+sqrt(x)+1-1+e^(-1/x)*sqrt(x))/(3*sqrt(x)+x*(sen(x))/(x))=$

$=\lim_{x \to 0^+}(x^2+sqrt(x)+(-1/x)*sqrt(x))/(3*sqrt(x)+x)=$

$=\lim_{x \to 0^+}(sqrt(x)-1/x*sqrt(x))/(3*sqrt(x))=$ [...] poi?

[Seneca1]

"NICKS23":$\lim_{x \to 0^+}(ln(1+x^2)+tg(sqrt(x))+e^(-1/x)*sqrt(x))/(3*sqrt(x)+x*sen(x))=1/3$

Hai fatto qualche errore. $e^(- 1/x) * sqrt(x)$ è un infinitesimo di ordine superiore rispetto ad ogni potenza $1/x^(alpha)$ con $alpha > 0$, quindi può essere trascurato a numeratore.

$\lim_{x \to 0^+}(ln(1+x^2)+tg(sqrt(x)))/(3*sqrt(x)+x*sin(x))$

$tan(sqrt(x)) sim sqrt(x)$ e $ln( 1 + x^2 ) sim x^2$

$x^2 = o ( sqrt(x) )$ per $x -> 0^+$, quindi:

$\lim_{x \to 0^+}(sqrt(x))/(3*sqrt(x)+x*sin(x))$

A denominatore hai che $x sin(x) sim x^2$ per $x -> 0^+$, quindi $ x sin(x) = o (sqrt(x) )$ e troverai:

$\lim_{x \to 0^+}(sqrt(x) + o(sqrt(x)))/(3*sqrt(x) + o(sqrt(x))) = 1/3$

[nico12345]

Grazie...