Serie:Criterio del confronto asintotico
Leggo dalla definizione del criterio del controllo asintotico:
Se due successioni (a termini positivi) ${a_n}$ ${b_n}$ sono asintotiche,
allora le corrispondenti $ sum a_n $ $ sum b_n $ hanno lo stesso carattere.
1)E' una condizione neccessaria e sufficente? cioè se trovo che una delle due serie converge converge certamente anche l'altra?
2)E' valido anche quando il limite della sucessione è 0?
3)Posso utilizzare il confronto asintotico conoscendo solo una serie?
Se due successioni (a termini positivi) ${a_n}$ ${b_n}$ sono asintotiche,
allora le corrispondenti $ sum a_n $ $ sum b_n $ hanno lo stesso carattere.
1)E' una condizione neccessaria e sufficente? cioè se trovo che una delle due serie converge converge certamente anche l'altra?
2)E' valido anche quando il limite della sucessione è 0?
3)Posso utilizzare il confronto asintotico conoscendo solo una serie?
Risposte
1) Si
2)Si
3) Non credo di aver capito la domanda, comunque, da sola una serie non la puoi confrontare con niente. Ma forse intendevi altro.
Cioè, mi spiego, se hai una serie che sai convergere o divergere, allora puoi utilizzarla per il confronto con un'altra di cui non sai il carattere, e cercare stabilirlo sulla scorta dei teoremi che riguardano appunto il confronto tra serie. Ma con una da sola non puoi.
2)Si
3) Non credo di aver capito la domanda, comunque, da sola una serie non la puoi confrontare con niente. Ma forse intendevi altro.
Cioè, mi spiego, se hai una serie che sai convergere o divergere, allora puoi utilizzarla per il confronto con un'altra di cui non sai il carattere, e cercare stabilirlo sulla scorta dei teoremi che riguardano appunto il confronto tra serie. Ma con una da sola non puoi.
"regim":
1) Si
Davvero?
Cioè quindi se non ho capito male, se $sum a_n$ converge e $sum b_n$ converge, allora necessariamente $a_n$ e $b_n$ sono asintoticamente equivalenti?
Non mi sembra possibile, porto un paio di controesempi:
1) $a_n = 1/n$, $b_n = log(n)$. Risulta $sum a_n = sum b_n = +oo$ eppure non mi pare che $a_n ~= b_n$;
2) $a_n = q^n, |q|<1$, $b_n = 0$. Risulta $sum a_n = 1/(1-q)$ e $sum b_n = 0$, eppure non ha senso l'equivalenza asintotica per $0$.
Infatti $a_n ~= b_n$ sse $lim_n a_n/b_n = 1$.
Quindi per me la prima domanda di BHK è formulata male. Nel senso: è vera la seconda parte, a cui è stato risposto sì (ovvero "cioè se trovo che una delle due serie converge converge certamente anche l'altra?"), ma non è vera la prima.
Se fosse una condizione necessaria e sufficiente, dovrebbe essere
due successioni (a termini positivi) ${a_n}$ e ${b_n}$ sono asintotiche
se e solo se le corrispondenti $sum a_n$ $sum b_n$ hanno lo stesso carattere.
Mi sembra di aver dato due controesempi alla necessità (e quindi al "se". o faccio ancora confusione?) in quanto è sufficiente che $a_n ~= b_n$ affinché le serie abbiano lo stesso comportamento, ma non è necessario in quanto non è detto che se le serie convergono o divergono entrambe, sia $a_n ~= b_n$.
Per la terza domanda neanche io ci ho capito granché.
"The_Mad_Hatter":Pure secondo me. Ma non credo che regim intendesse dire
Quindi per me la prima domanda di BHK è formulata male.
Cioè quindi se non ho capito male, se ∑an converge e ∑bn converge, allora necessariamente an e bn sono asintoticamente equivalenti?
Comunque il tuo ragionamento e i tuoi esempi sono calzanti.
"dissonance":
Ma non credo che regim intendesse dire ....
...esatto, la mia risposta era più che altro alla parte conclusiva della domanda, cioè alla condizione sufficiente, ho pensato dopo che c'era anche quella necessaria.
ciao
Non ne dubitavo, in effetti l'ho scritto pure io ma ora che rileggo non sono stato poi così esplicito.
Mi fido moltissimo di chi ne sa più di me!
Mi fido moltissimo di chi ne sa più di me!
Ho rivisto la definizione, comunque il dubbio non era sulla possibile proprietà "se $sum a_n$ converge e $sum b_n$ converge, allora necessariamente $a_n$ e $b_n$ sono asintoticamente equivalenti" che sarebbe certamente falsa.
Ma sul fatto che avendo due serie che sono asintoticamente equivalenti, sono certo che se una converge, converge pure l'altra?
Quindi una condizione neccessaria e sufficente sarebbe:
Due serie $ sum a_n $ $ sum b_n $ hanno lo stesso carattere se e solo se
le serie $a_n$ e $b_n$ sono asintoticamente equivalenti.
Ma essendo falsa, pure questa condizione, la risposta alla prima domanda è no.
E' vero solo che; se ho due serie di cui posso affermare con sicurezza l'equivalenta asintotica, esse hanno lo stesso carattere.
Esempio: Conosco la serie di Mengoli
$ sum_(n = 1)^(oo)1/(n(n+1)) $ che so che converge, ed ho un altra serie $ sum_(n = 1)^(oo)1/(n^2) $ di cui non ho ancora studiato il carattere, però notando che sono asintoticamente equivalenti posso dire che anche l'ultima serie converge.
Ma sul fatto che avendo due serie che sono asintoticamente equivalenti, sono certo che se una converge, converge pure l'altra?
Quindi una condizione neccessaria e sufficente sarebbe:
Due serie $ sum a_n $ $ sum b_n $ hanno lo stesso carattere se e solo se
le serie $a_n$ e $b_n$ sono asintoticamente equivalenti.
Ma essendo falsa, pure questa condizione, la risposta alla prima domanda è no.
E' vero solo che; se ho due serie di cui posso affermare con sicurezza l'equivalenta asintotica, esse hanno lo stesso carattere.
Esempio: Conosco la serie di Mengoli
$ sum_(n = 1)^(oo)1/(n(n+1)) $ che so che converge, ed ho un altra serie $ sum_(n = 1)^(oo)1/(n^2) $ di cui non ho ancora studiato il carattere, però notando che sono asintoticamente equivalenti posso dire che anche l'ultima serie converge.
"BHK":
E' vero solo che; se ho due serie di cui posso affermare con sicurezza l'equivalenta asintotica, esse hanno lo stesso carattere.
Esempio: Conosco la serie di Mengoli
$ sum_(n = 1)^(oo)1/(n(n+1)) $ che so che converge, ed ho un altra serie $ sum_(n = 1)^(oo)1/(n^2) $ di cui non ho ancora studiato il carattere, però notando che sono asintoticamente equivalenti posso dire che anche l'ultima serie converge.
Esattamente.
Anche se ovviamente conosci il carattere della serie $ sum_(n = 1)^(oo)1/(n^2) $
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