Serie utilizzando il criterio di Leibniz
Ho appena svolto questa serie: $\sum_{n=1}^oo (-1)^(n+1) * 1/(sqrt(n) + 2)$
Però ho due dubbi.
Allora, io ho applicato il criterio di Leibniz:
quindi ho verificato se $1/(sqrt(n) + 2)$ è decrescente monotona
poi ho verificato attraverso il limite se è infinitesima.
Di conseguenza essendo monotona decrescente e infinitesima, la serie converge semplicemente.
1 dubbio) Di solito io applico il criterio di Leibniz quando ho all'interno della serie $(-1)^n$ e non $(-1)^(n+1)$. Cambia qualcosa o lo posso trascurare?
Ovviamente essendo convergente semplicemente non è detto che la serie sia convergente assolutamente, quindi noto che $1/(sqrt(n) + 2) > 1/(n + 2)$
in teoria per confronto vedendo che la serie $\sum_{n=1}^oo 1/(n + 2)$ è convergente, dovrebbe essere convergente anche $\sum_{n=1}^oo 1/(sqrt(n) + 2)$.
In questo caso la prima serie diverge, e di conseguenza per confronto anche la seconda serie è divergente, quindi la serie non converge assolutamente.
2 dubbio) Per quale motivo $\sum_{n=1}^oo 1/(n + 2)$ diverge? Perchè se faccio il limite mi viene zero, quindi sono più propenso a dire che converge.
Però ho due dubbi.
Allora, io ho applicato il criterio di Leibniz:
quindi ho verificato se $1/(sqrt(n) + 2)$ è decrescente monotona
poi ho verificato attraverso il limite se è infinitesima.
Di conseguenza essendo monotona decrescente e infinitesima, la serie converge semplicemente.
1 dubbio) Di solito io applico il criterio di Leibniz quando ho all'interno della serie $(-1)^n$ e non $(-1)^(n+1)$. Cambia qualcosa o lo posso trascurare?
Ovviamente essendo convergente semplicemente non è detto che la serie sia convergente assolutamente, quindi noto che $1/(sqrt(n) + 2) > 1/(n + 2)$
in teoria per confronto vedendo che la serie $\sum_{n=1}^oo 1/(n + 2)$ è convergente, dovrebbe essere convergente anche $\sum_{n=1}^oo 1/(sqrt(n) + 2)$.
In questo caso la prima serie diverge, e di conseguenza per confronto anche la seconda serie è divergente, quindi la serie non converge assolutamente.
2 dubbio) Per quale motivo $\sum_{n=1}^oo 1/(n + 2)$ diverge? Perchè se faccio il limite mi viene zero, quindi sono più propenso a dire che converge.
Risposte
Ciao jarrod,
$(-1)^{n + 1} = - (-1)^{n}$
Qualcosa cambia, ma poco, un segno...
Perché si tratta della serie armonica, tolti i primi due termini iniziali. Il fatto che il limite venga zero significa solo che è soddisfatta la condizione necessaria, ma non sufficiente, per la convergenza: l'esempio classico è proprio la serie armonica, che è divergente, pur soddisfacendo la condizione necessaria per la convergenza.
"jarrod":
Di conseguenza essendo monotona decrescente e infinitesima, la serie converge semplicemente.
"jarrod":
1 dubbio) Di solito io applico il criterio di Leibniz quando ho all'interno della serie $(−1)^n$ e non $(−1)^{n + 1}$. Cambia qualcosa o lo posso trascurare?
$(-1)^{n + 1} = - (-1)^{n}$
Qualcosa cambia, ma poco, un segno...
"jarrod":
In questo caso la prima serie diverge, e di conseguenza per confronto anche la seconda serie è divergente, quindi la serie non converge assolutamente.
"jarrod":
2 dubbio) Per quale motivo $sum_{n = 1}^{+\infty}1/{n + 2}$ diverge? Perchè se faccio il limite mi viene zero, quindi sono più propenso a dire che converge.
Perché si tratta della serie armonica, tolti i primi due termini iniziali. Il fatto che il limite venga zero significa solo che è soddisfatta la condizione necessaria, ma non sufficiente, per la convergenza: l'esempio classico è proprio la serie armonica, che è divergente, pur soddisfacendo la condizione necessaria per la convergenza.
Grazie per tutti i chiarimenti, però ho un ultimo dubbio (scusa la domanda)
Io per dire che è una serie armonica generalizzata che diverge dovrei avere una serie del tipo: $\sum_{n=1}^oo 1/n^\alpha$, con $\alpha <=1$
In questo caso non è cosi guardando..
Perché si tratta della serie armonica, tolti i primi due termini iniziali.Che cosa significa?
Io per dire che è una serie armonica generalizzata che diverge dovrei avere una serie del tipo: $\sum_{n=1}^oo 1/n^\alpha$, con $\alpha <=1$
In questo caso non è cosi guardando..
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