Serie trigonometrica
$sum_(n=1)^infty cos^nx logn$
come potrei studiare il carattere della seguente ?
come potrei studiare il carattere della seguente ?
Risposte
Beh? E che è questo post, mat? Dai che il regolamento lo conosci. Porta qualche tentativo di risoluzione.
"dissonance":
Beh? E che è questo post, mat? Dai che il regolamento lo conosci. Porta qualche tentativo di risoluzione.
si lo conosco e lo rispetto!in questo caso abbiamo la funzione coseno e la funzione log , dovremmo preoccuparci di "far scomparire" il coseno no ?
sempre che non ho detto una cretinata...
$[cos^n(x)]/[cosx-1]$
??
Questo esercizio sembra più difficile di quanto non sia in realtà. Ti ricordi il criterio del confronto asintotico? Prova ad applicarlo. Tieni presente che $|cosx|^n$ (a parte qualche valore di $x$ che la rende identicamente pari a $1$) decade esponenzialmente mentre $log n$ diverge logaritmicamente, quindi il termine generale decade "molto velocemente". Prova a confrontare con $1/(n^2)$.
"dissonance":
Questo esercizio sembra più difficile di quanto non sia in realtà. Ti ricordi il criterio del confronto asintotico? Prova ad applicarlo. Tieni presente che $|cosx|^n$ (a parte qualche valore di $x$ che la rende identicamente pari a $1$) decade esponenzialmente mentre $log n$ diverge logaritmicamente, quindi il termine generale decade "molto velocemente". Prova a confrontare con $1/(n^2)$.
ti ringrazio per l'intervento:
prima di arrivare allo svolgimento che è l'ultima cosa che mi interessa... vorrei capire!
certo che mi ricordo il criterio del confronto asintotico;
il mio blocco sta nella presenza di queste due funzioni...e in base a cosa confrontare nel caso come questo vi è una trigonometrica e la funzione logaritmica ad accompagnare il termine generale....?!
cmq,,,
partendo dal presupposto che $logn$ so che diverge ;
Cosa intendi precisamente quando ti riferisci: " che $|cosx|^n$ (a parte qualche valore di $x$ che la rende identicamente pari a $1$) decade esponenzialmente" .
intendi dire che si avvicina all'infinito per $n$ non tanto grandi?
thankx ancora!
No, intendo dire che, a parte le $x$ per cui $|cosx|=1$ (e quindi $|cosx|^n=1$ per ogni $n$), la successione $|cosx|^n$ è un infinitesimo di ordine esponenziale. Se non riesci a vederlo, scrivi $a=|cosx|$; allora $|cosx|^n=a^n$ e hai studiato dei limiti notevoli che riguardano questa successione.
"dissonance":
No, intendo dire che, a parte le $x$ per cui $|cosx|=1$ (e quindi $|cosx|^n=1$ per ogni $n$), la successione $|cosx|^n$ è un infinitesimo di ordine esponenziale. Se non riesci a vederlo, scrivi $a=|cosx|$; allora $|cosx|^n=a^n$ e hai studiato dei limiti notevoli che riguardano questa successione.
in questo caso $-1
da ciò però potremmo dedurre per la nostra serie in questione ?
che si ha una forma del tipo $ lim_(n to infty) [ 0* infty] ? $
"dissonance":
Prova a confrontare con $1/(n^2)$.
"dissonance":[/quote]
[quote="dissonance"]Prova a confrontare con $1/(n^2)$.
ho già fatto, ma non è fattibile in quanto
confrontando il termine generale della serie "$cos^n x logn$" il limite mi viene 0!
ho confrontato con $1/n^2$ come mi hai suggerito te!
Ma come "non è fattibile"! Se hai due serie a termini positivi
$sum a_n, sum b_n$
tali che $sum b_n$ converge e $lim_{n\to infty}\frac{a_n}{b_n}=0$, cosa puoi concludere?
P.S.: Tempo fa ho provato a scrivere un post sul confronto asintotico qui, potresti provare a consultarlo.
$sum a_n, sum b_n$
tali che $sum b_n$ converge e $lim_{n\to infty}\frac{a_n}{b_n}=0$, cosa puoi concludere?
P.S.: Tempo fa ho provato a scrivere un post sul confronto asintotico qui, potresti provare a consultarlo.
"dissonance":
Ma come "non è fattibile"! Se hai due serie a termini positivi
$sum a_n, sum b_n$
tali che $sum b_n$ converge e $lim_{n\to infty}\frac{a_n}{b_n}=0$, cosa puoi concludere?
P.S.: Tempo fa ho provato a scrivere un post sul confronto asintotico qui, potresti provare a consultarlo.
non so se posso inserirla quì la domanda; o nel topic arretrato di qualche tempo fa:
cmq ci sono 3 punti bui nella tua esposizione che vorrei chiederti:
1) se $(a_n)/(b_n) to 0$ con $sum (b_n)$ che diverge ..... $an$ che succede?
2) se $a_n/b_n to +infty$ con $sum b_n $ che converge che succede?
3) se $a_n/b_n to l != ( 0,+infty ,1) $ ???
thankx.
"dissonance":Il confronto asintotico, in realtà, non è niente di diverso dal confronto di grandezza. Si basa tutto su osservazioni molto semplici come [size=75](*)[/size]:
Chiaro? Mnemonicamente:
1) $(a_n)/(b_n)\to0$ significa che $a_n$ è "asintoticamente più piccola" di $b_n$;
2) $(a_n)/(b_n)\to + \infty$ signfica che $a_n$ è "asintoticamente più grande" di $b_n$;
3) $(a_n)/(b_n)\to1$ significa che $a_n$ e $b_n$ sono "asintoticamente equivalenti".
Queste non sono disuguaglianze (o uguaglianze, nel caso dell'equivalenza asintotica) vere per ogni $n$, ma per i fini del confronto tra serie puoi comportarti come se lo fossero.
se $(a_n)/(b_n)\to0$ allora per $n$ sufficientemente grande $(a_n)/(b_n)<=1$ per cui $a_n<=b_n$;
se $(a_n)/(b_n)\to+\infty$ allora per $n$ sufficientemente grande $(a_n)/(b_n)>=1$ per cui $a_n>=b_n$;
se $(a_n)/(b_n)\to \L\in (0, \infty)$ allora per $n$ sufficientemente grande $1/2L<= (a_n)/(b_n)<=2L$ per cui $1/2L b_n<= a_n <= 2L b_n$.
Usando queste disuguaglianze puoi desumere il carattere della serie $sum a_n$ da quello della serie $sum b_n$ in certi casi particolari.
Nello specifico, se $sum b_n$ diverge e $(a_n)/(b_n)\to 0$, non puoi concludere niente. Stesso discorso se $sum b_n$ converge e $(a_n)/(b_n)\to +\infty$. E' chiaro perché? Se ci rifletti un attimo è davvero facile.
______________
[size=75](*)[/size] ATTENZIONE! Sto assumendo implicitamente che tutte le serie coinvolte abbiano i termini positivi.
"mat100":
$sum_(n=1)^infty cos^nx logn$
come potrei studiare il carattere della seguente ?
$sum_(n=1)^infty cos^nx logn$ converge assolutamente per ogni $x$ $!=$ $k\pi$, $k$ $in$ $ZZ$, in virtù del criterio della radice.
Basta osservare che $\lim_{n \to \infty}|cos^nx logn|^(1/n)=\lim_{n \to \infty}|cosx| root(n)(logn)=|cosx|$
"dissonance":Il confronto asintotico, in realtà, non è niente di diverso dal confronto di grandezza. Si basa tutto su osservazioni molto semplici come [size=75](*)[/size]:
[quote="dissonance"]Chiaro? Mnemonicamente:
1) $(a_n)/(b_n)\to0$ significa che $a_n$ è "asintoticamente più piccola" di $b_n$;
2) $(a_n)/(b_n)\to + \infty$ signfica che $a_n$ è "asintoticamente più grande" di $b_n$;
3) $(a_n)/(b_n)\to1$ significa che $a_n$ e $b_n$ sono "asintoticamente equivalenti".
Queste non sono disuguaglianze (o uguaglianze, nel caso dell'equivalenza asintotica) vere per ogni $n$, ma per i fini del confronto tra serie puoi comportarti come se lo fossero.
se $(a_n)/(b_n)\to0$ allora per $n$ sufficientemente grande $(a_n)/(b_n)<=1$ per cui $a_n<=b_n$;
se $(a_n)/(b_n)\to+\infty$ allora per $n$ sufficientemente grande $(a_n)/(b_n)>=1$ per cui $a_n>=b_n$;
se $(a_n)/(b_n)\to \L\in (0, \infty)$ allora per $n$ sufficientemente grande $1/2L<= (a_n)/(b_n)<=2L$ per cui $1/2L b_n<= a_n <= 2L b_n$.
Usando queste disuguaglianze puoi desumere il carattere della serie $sum a_n$ da quello della serie $sum b_n$ in certi casi particolari.
Nello specifico, se $sum b_n$ diverge e $(a_n)/(b_n)\to 0$, non puoi concludere niente. Stesso discorso se $sum b_n$ converge e $(a_n)/(b_n)\to +\infty$. E' chiaro perché? Se ci rifletti un attimo è davvero facile.
______________
[size=75](*)[/size] ATTENZIONE! Sto assumendo implicitamente che tutte le serie coinvolte abbiano i termini positivi.[/quote]
non vorrei dire una stupidaggine:
perchè nel primo caso se $b_n$ diverge non avremmo per n grande $ (a_n)/(b_n)<=1$
analogamente nel secondo caso se $b_n$ è convergente...
??
"Sidereus":
[quote="mat100"]$sum_(n=1)^infty cos^nx logn$
come potrei studiare il carattere della seguente ?
$sum_(n=1)^infty cos^nx logn$ converge assolutamente per ogni $x$ $!=$ $k\pi$, $k$ $in$ $ZZ$, in virtù del criterio della radice.
Basta osservare che $\lim_{n \to \infty}|cos^nx logn|^(1/n)=\lim_{n \to \infty}|cosx| root(n)(logn)=|cosx|$[/quote]
perchè non per $ pi/2+kpi$ ?
@mat100: Cosa dice il criterio della radice? Capito questo, capisci anche il suggerimento di Sidereus.
"mat100":Non mi sono spiegato. Il fatto di avere definitivamente $\frac{a_n}{b_n}<=1$ non c'entra nulla con l'essere $sum a_n, sum b_n$ convergenti o divergenti. Viene subito dalla definizione stessa di limite, con $epsilon=1$ (ricordo ancora una volta che $a_n, b_n$ sono numeri positivi). Il punto è cosa te ne fai di quella disuguaglianza: se $sum b_n$ diverge e tu sai che $a_n<=b_n$, cosa puoi concludere su $a_n$?
non vorrei dire una stupidaggine:
perchè nel primo caso se $b_n$ diverge non avremmo per n grande $ (a_n)/(b_n)<=1$
analogamente nel secondo caso se $b_n$ è convergente...
Se non riesci a rispondere subito, significa che hai dei dubbi a livello teorico sul criterio del confronto: riguardati la dimostrazione. Nel caso ne riparliamo.
"dissonance":Non mi sono spiegato. Il fatto di avere definitivamente $\frac{a_n}{b_n}<=1$ non c'entra nulla con l'essere $sum a_n, sum b_n$ convergenti o divergenti. Viene subito dalla definizione stessa di limite, con $epsilon=1$ (ricordo ancora una volta che $a_n, b_n$ sono numeri positivi). Il punto è cosa te ne fai di quella disuguaglianza: se $sum b_n$ diverge e tu sai che $a_n<=b_n$, cosa puoi concludere su $a_n$?
[quote="mat100"]non vorrei dire una stupidaggine:
perchè nel primo caso se $b_n$ diverge non avremmo per n grande $ (a_n)/(b_n)<=1$
analogamente nel secondo caso se $b_n$ è convergente...
Se non riesci a rispondere subito, significa che hai dei dubbi a livello teorico sul criterio del confronto: riguardati la dimostrazione. Nel caso ne riparliamo.[/quote]
nel caso $sum b_n$ è divergente e $(a_n)/(b_n) to 0$
$ a_n$ è scontato che è più piccola di $b_n$ posso concludere da quel che so $a_n< b_n$ $to$ $a_n $ è convergente (Sempre)!
"gugo82":
@mat100: Cosa dice il criterio della radice? Capito questo, capisci anche il suggerimento di Sidereus.
gugo non vorrei dire una cavolata:
ma se $lim sqrt(a_n) = l<1$ la serie è definitivamente convergente .....
nello specifico però non so come allacciarmi al suggerimento di Sidereus
non capisco perchè $x != da pi$ e non invece come giusto da $pi/2$
Allora mat100...
Innanzitutto non ha senso parlare di serie "definitivamente convergente". Dove l'hai letto?
Una serie o converge o diverge (negativamente o positivamente) o è indeterminata; "definitivamente convergente" non l'ho mai visto scritto in alcun libro di Analisi e scommetto che non c'è scritto nemmeno sul tuo.
Seconda cosa: il criterio della radice ti dice che se esiste il [tex]$\lim_n \sqrt[n]{|a_n|}$[/tex] (occhio: il modulo è importantissimo, inoltre la radice è la radice [tex]$n$[/tex]-esima -quindi di [tex]$|a_2|$[/tex] fai la radice quadrata, di [tex]$|a_3|$[/tex] la radice cubica, etc...) e se tale limite [tex]$\ell$[/tex] è [tex]$<1$[/tex], allora la serie [tex]$\sum a_n$[/tex] converge assolutamente; se invece [tex]$\ell$[/tex] è [tex]$>1$[/tex], la serie assegnata non converge assolutamente.
Nel tuo caso il limite della successione [tex]$\sqrt[n]{|a_n|}$[/tex] dipende da un paramentro [tex]$x$[/tex] e possiamo perciò denotarlo [tex]$\ell (x)$[/tex]; quindi ti devi chiedre: è possibile determinare qualche valore del parametro [tex]$x$[/tex] in modo che il mio [tex]$\ell (x)$[/tex] verifichi le limitazioni [tex]$0\leq \ell (x)<1$[/tex], così che posso applicare il criterio della radice?
E posso dire qualcosa nel caso in cui esistessero valori di [tex]$x$[/tex] tali che [tex]$\ell (x)=1$[/tex]?
Infine, prova a scrivere i tuoi conti.
Sidereus ti ha detto "cerca di applicare il criterio della radice", tu l'hai fatto? A quali risultati sei arrivato? Agli stessi di Sidereus?
E allora guarda che stai risolvendo in maniera sbagliata una semplice equazione trigonometrica.
Innanzitutto non ha senso parlare di serie "definitivamente convergente". Dove l'hai letto?
Una serie o converge o diverge (negativamente o positivamente) o è indeterminata; "definitivamente convergente" non l'ho mai visto scritto in alcun libro di Analisi e scommetto che non c'è scritto nemmeno sul tuo.
Seconda cosa: il criterio della radice ti dice che se esiste il [tex]$\lim_n \sqrt[n]{|a_n|}$[/tex] (occhio: il modulo è importantissimo, inoltre la radice è la radice [tex]$n$[/tex]-esima -quindi di [tex]$|a_2|$[/tex] fai la radice quadrata, di [tex]$|a_3|$[/tex] la radice cubica, etc...) e se tale limite [tex]$\ell$[/tex] è [tex]$<1$[/tex], allora la serie [tex]$\sum a_n$[/tex] converge assolutamente; se invece [tex]$\ell$[/tex] è [tex]$>1$[/tex], la serie assegnata non converge assolutamente.
Nel tuo caso il limite della successione [tex]$\sqrt[n]{|a_n|}$[/tex] dipende da un paramentro [tex]$x$[/tex] e possiamo perciò denotarlo [tex]$\ell (x)$[/tex]; quindi ti devi chiedre: è possibile determinare qualche valore del parametro [tex]$x$[/tex] in modo che il mio [tex]$\ell (x)$[/tex] verifichi le limitazioni [tex]$0\leq \ell (x)<1$[/tex], così che posso applicare il criterio della radice?
E posso dire qualcosa nel caso in cui esistessero valori di [tex]$x$[/tex] tali che [tex]$\ell (x)=1$[/tex]?
Infine, prova a scrivere i tuoi conti.
Sidereus ti ha detto "cerca di applicare il criterio della radice", tu l'hai fatto? A quali risultati sei arrivato? Agli stessi di Sidereus?
E allora guarda che stai risolvendo in maniera sbagliata una semplice equazione trigonometrica.
"mat100":Ma no, mat! Dire che una serie è "più piccola" di una serie divergente significa non dire nulla, ti pare? Stai dicendo che le somme parziali di $sum a_n$ sono sovrastate dalle somme parziali di $sum b_n$, che divergono positivamente, in simboli:
nel caso $sum b_n$ è divergente e $(a_n)/(b_n) to 0$
$ a_n$ è scontato che è più piccola di $b_n$ posso concludere da quel che so $a_n< b_n$ $to$ $a_n $ è convergente (Sempre)!
se $S_n=a_1+...+a_n$ e $S'n=b_1+...+b_n$, allora $S_n<=S'_n$ per $n$ sufficientemente grande. Ora prolunghiamo questa disuguaglianza al limite: $lim_{n\to \infty}S_n<=lim_{n\to \infty}S'_n=+\infty$. Ovvero (rimarco: parliamo di serie a termini positivi, quindi certamente esiste il limite delle somme parziali) $sum a_n<=+\infty$.
Che informazione è questa? Niente, è vuota.
Esempio:
Siano $a_n=1/n, b_n=1$. Allora $a_n<=b_n$ ed entrambe $sum a_n, sum b_n$ sono divergenti.
Siano $a_n=1/(n^2), b_n=1$. Allora $a_n<=b_n$, $sum a_n$ è convergente, $sum b_n$ è divergente.
"gugo82":
Allora mat100...
il criterio della radice ti dice che se esiste il [tex]$\lim_n \sqrt[n]{|a_n|}$[/tex] (occhio: il modulo è importantissimo, inoltre la radice è la radice [tex]$n$[/tex]-esima -quindi di [tex]$|a_2|$[/tex] fai la radice quadrata, di [tex]$|a_3|$[/tex] la radice cubica, etc...) e se tale limite [tex]$\ell$[/tex] è [tex]$<1$[/tex], allora la serie [tex]$\sum a_n$[/tex] converge assolutamente; se invece [tex]$\ell$[/tex] è [tex]$>1$[/tex], la serie assegnata non converge assolutamente.
Nel tuo caso il limite della successione [tex]$\sqrt[n]{|a_n|}$[/tex] dipende da un paramentro [tex]$x$[/tex] e possiamo perciò denotarlo [tex]$\ell (x)$[/tex]; quindi ti devi chiedre: è possibile determinare qualche valore del parametro [tex]$x$[/tex] in modo che il mio [tex]$\ell (x)$[/tex] verifichi le limitazioni [tex]$0\leq \ell (x)<1$[/tex], così che posso applicare il criterio della radice?
E posso dire qualcosa nel caso in cui esistessero valori di [tex]$x$[/tex] tali che [tex]$\ell (x)=1$[/tex]?
grazie della rivisitazione di tale criterio; avevo l'appunto di tale argomento con un pò di lacune...
ti volevo fare una domanda, forse sciocca...
ma come mai parli di "limitazioni"?? .... in modo tale da ricercare quell'x reale tale che [tex]$0\leq \ell (x)<1$[/tex]
anche se tra le ipotesi si può accettare anche il valore $x$ per cui [tex]$\ell (x)>1$[/tex] concludendo che non converge.?
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