Serie tipo esame

[indovina]

Non riesco a risolvere questa serie, cioè non sa dove partire.
Bosogna vedere se converge o diverge.

$\sum (-1)^n 1/((e^n)-n)

come dovrei cominciare? :S :S

[Darèios89]

Intanto col considerare che tipo di serie è, a termini positivi, negativi.....segni alterni.....

[indovina]

Io direi che è a segni alterni e dunque lo faccio con Leibniz.
Dunque vedere se è decrescente ed infinitesima, così da affermare che è una serie convergente.
Ma più della dimostrazione che è decrescente, voglio capire come vedere se è infinitesima

[Darèios89]

Bene, sei sulla buona strada...sperando che anche io non abbia fatto errori.
Per vedere se è infinitesima, devi calcolare il limite del termine generale della serie, se hai difficoltà ricordati del limite notevole:

[tex]\frac{e^x-1}{x}=1[/tex]

[indovina]

Si, ma quel limite notevole non vale per $x->0$ ?
invece io dovrei fare per $n->+oo$ o sbaglio? :S

[Darèios89]

Si hai ragione, ho sbagliato io, dovremmo trovare un modo alternativo di calcolare quel limite...
Ma...io ho pensato al criterio del rapporto per le successioni solo che non mi riescono i calcoli..

[klarence1]

E' infinitesima se $lim_(n->+oo) 1/(e^n-n) = 0$ ... forse ti può essere utile il fatto che all'infinito $e^n$ cresce molto più velocemente di $n$.

[Darèios89]

Cioè.....potrei scrivere direttamente 0 senza problemi e calcoli?
Considerando che [tex]e^n[/tex] cresce più velocemente è come se avessi:

[tex]\frac{1}{0-\infty}[/tex] che fa 0?

[faximusy]

$e^n$ è certamente un infinito di ordine maggiore di $n$, quindi per $n$ grande sarà certamente $e^n-n$ una funzione crescente;

il suo inverso sarà quindi... e allora ...

[indovina]

Si sarebbe:
$lim_(n->+oo) 1/((e^n)(1-n/e^n))=lim_(n->+oo) 1/e^n=0$

si applica il criterio del rapporto per le successioni.
e poi $lim_(n->+oo) 1/e^n=+oo$

[Darèios89]

Vero non ci avevo pensato al raccoglimento, ora si che ci siamo...

P.S...non è che qualcuno darebbe un'occhiata al mio ultimo post sull'integrale?
Scusate la pubblicità..