Serie termini alterni: convergenza e divergenza
$\sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) $
È assegnata la serie nell’immagine e mi è richiesto di trovare i valori di x per i quali la serie converge/diverge.
Io ho proceduto così : per quanto riguarda la convergenza assoluta ho: $ |a_n|= 1/((n+3)|x|^n) $ quindi converge se |x|>1 e diverge a più infinito se $|x|<=1$.
Se |x|<1, la serie non converge neanche semplicemente perché $a_n$ non tende a 0.
Se x=1 converge semplicemente per criterio dì Leibniz.
Se x=-1 diventa a termini positivi e diverge a +infinito.
È corretto?
Grazie
È assegnata la serie nell’immagine e mi è richiesto di trovare i valori di x per i quali la serie converge/diverge.
Io ho proceduto così : per quanto riguarda la convergenza assoluta ho: $ |a_n|= 1/((n+3)|x|^n) $ quindi converge se |x|>1 e diverge a più infinito se $|x|<=1$.
Se |x|<1, la serie non converge neanche semplicemente perché $a_n$ non tende a 0.
Se x=1 converge semplicemente per criterio dì Leibniz.
Se x=-1 diventa a termini positivi e diverge a +infinito.
È corretto?
Grazie
Risposte
Ciao AndretopC0707,
Scusa, ma non ti risponderò nel merito sino a quando non cambierai quella foto orrenda ed oltretutto neanche dritta: sei a 353 messaggi e ormai dovresti aver capito che occorre evitare di postare foto, che a lungo andare spariscono rendendo il thread poco significativo, ed invece sforzarsi di scrivere come puoi vedere nel box rosa in alto.
Nel caso specifico, la serie proposta si scrive semplicemente nel modo seguente:
$\sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) $
Non mi pare sia così complicato...
Scusa, ma non ti risponderò nel merito sino a quando non cambierai quella foto orrenda ed oltretutto neanche dritta: sei a 353 messaggi e ormai dovresti aver capito che occorre evitare di postare foto, che a lungo andare spariscono rendendo il thread poco significativo, ed invece sforzarsi di scrivere come puoi vedere nel box rosa in alto.
Nel caso specifico, la serie proposta si scrive semplicemente nel modo seguente:
$\sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) $
$\sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) $
Non mi pare sia così complicato...
Concordo assolutamente con pilloeffe.
Non ti rendi conto che questa affermazione è contraddittoria? Stai considerando che $|x|>1$ e poi scrivi "se $|x| \leq 1$", quindi qual è la conclusione? È scritto un po' male.
"AndretopC0707":
converge se |x|>1 e diverge a più infinito se $|x|<=1$.
Non ti rendi conto che questa affermazione è contraddittoria? Stai considerando che $|x|>1$ e poi scrivi "se $|x| \leq 1$", quindi qual è la conclusione? È scritto un po' male.
Ma se io considero la serie dei valori assoluti, se |x|>1 converge no?
Se invece |x|<1 diverge a +infinito.
Se x=1 è asintotica alla serie armonica e diverge assolutamente.
Perché non è corretto?
Se invece |x|<1 diverge a +infinito.
Se x=1 è asintotica alla serie armonica e diverge assolutamente.
Perché non è corretto?
Ma se io considero la serie dei valori assoluti, se |x|>1 converge no?
Se invece |x|<1 diverge a +infinito.
Se x=1 è asintotica alla serie armonica e diverge assolutamente.
Perché non è corretto?
Se invece |x|<1 diverge a +infinito.
Se x=1 è asintotica alla serie armonica e diverge assolutamente.
Perché non è corretto?
Quello che hai scritto è parzialmente corretto, il fatto è che la convergenza assoluta implica la convergenza semplice, ma la divergenza in modulo non ti dà informazioni.
Nel senso che se trovi un intervallo in cui la serie converge assolutamente allora puoi dedurre che in tale intervallo converge anche semplicemente, invece dove diverge la serie dei moduli non puoi dire nulla sulla divergenza (in sostanza, l'intervallo di convergenza semplice potrebbe essere più grande dell'intervallo di convergenza assoluta).
Il resto è corretto.
"Diverge assolutamente" non ha senso come scrittura, al massimo si scrive "diverge positivamente" o "diverge negativamente".
Modifica il messaggio come ti ha chiesto pilloeffe, per favore!
Nel senso che se trovi un intervallo in cui la serie converge assolutamente allora puoi dedurre che in tale intervallo converge anche semplicemente, invece dove diverge la serie dei moduli non puoi dire nulla sulla divergenza (in sostanza, l'intervallo di convergenza semplice potrebbe essere più grande dell'intervallo di convergenza assoluta).
Il resto è corretto.
"Diverge assolutamente" non ha senso come scrittura, al massimo si scrive "diverge positivamente" o "diverge negativamente".
Modifica il messaggio come ti ha chiesto pilloeffe, per favore!
Ok chiaro, mi sono espresso male
Per quanto riguarda la modifica del messaggio, non è possibile caricare le foto in modo che non scompaiano, pilloeffe ha completamente ragione, però oltre al fatto che servirebbe un’ora per scrivere un messaggio se non caricassi la foto, penso che anche il testo risulterebbe molto meno chiaro
"AndretopC0707":
pilloeffe ha completamente ragione, però oltre al fatto che servirebbe un’ora per scrivere un messaggio se non caricassi la foto [...]
Non sarai il re dei programmatori, ma un'ora per scrivere la sola riga di codice che fra l'altro ti ho già scritto mi pare un filino eccessivo...
[ot]Non sono d'accordo Andretopc0707, specialmente in questo caso in cui dovresti semplicemente fare copia incolla dal codice di pilloeffe, cliccare modifica e sostituirlo al link della foto; ci vogliono veramente 30 secondi (anche se sono sicuro che ti stavi riferendo ad altri post e non a questo 
).
Tuttavia quello che dici tu non è falso, io ricordo di una delle mie prime domande che mi ha preso molto per scriverla; tuttavia ho imparato tantissimo dalle risposte ottenute da quella domanda (forse proprio perché le ho dedicato il giusto tempo).
Premetto che non mi riferisco a te nel personale, ma c'è un'attitudine tossica sui forum in generale che è quella di ammazzare lo standard qualitativo proprio caricando foto storte e sfocate, senza proporre tentativi di soluzione (come vedi non è il tuo caso, qui tu hai proposto la tua soluzione e ti si aiuta più che volentieri!) e sperando nella pappa pronta (converrai con me che caricare una foto è, in un certo senso, l'estensione di richiedere questa pappa pronta invece di prendersi 10 minuti per scrivere una cosa; tra l'altro poi imparare a scrivere in LaTeX è utile per un qualsiasi studente di materie scientifiche e col tempo e la pratica la scrittura i LaTeX si velocizza notevolmente).
Quindi, visto che ci sono anche dei professionisti (non me) su questo forum che dedicano altrettanto tempo (se non di più) a scrivere wall of text di messaggi da cui si impara tantissimo, mostrami che sei una persona intelligente e prenditi 30 secondi per modificare il messaggio
[/ot]
).Tuttavia quello che dici tu non è falso, io ricordo di una delle mie prime domande che mi ha preso molto per scriverla; tuttavia ho imparato tantissimo dalle risposte ottenute da quella domanda (forse proprio perché le ho dedicato il giusto tempo).
Premetto che non mi riferisco a te nel personale, ma c'è un'attitudine tossica sui forum in generale che è quella di ammazzare lo standard qualitativo proprio caricando foto storte e sfocate, senza proporre tentativi di soluzione (come vedi non è il tuo caso, qui tu hai proposto la tua soluzione e ti si aiuta più che volentieri!) e sperando nella pappa pronta (converrai con me che caricare una foto è, in un certo senso, l'estensione di richiedere questa pappa pronta invece di prendersi 10 minuti per scrivere una cosa; tra l'altro poi imparare a scrivere in LaTeX è utile per un qualsiasi studente di materie scientifiche e col tempo e la pratica la scrittura i LaTeX si velocizza notevolmente).
Quindi, visto che ci sono anche dei professionisti (non me) su questo forum che dedicano altrettanto tempo (se non di più) a scrivere wall of text di messaggi da cui si impara tantissimo, mostrami che sei una persona intelligente e prenditi 30 secondi per modificare il messaggio
[/ot]
"AndretopC0707":
... se non caricassi la foto, penso che anche il testo risulterebbe molto meno chiaro
Niente può essere meno chiaro di quella "cosa"
Il paradosso, poi, sono le "paginate" ed il tempo perso nel giustificarsi ...
Non è stata colpa mia!
[xdom="gugo82"]Anche perché poi, a lungo andare, i moderatori si spazientiscono e cominciano a chiudere thread ed a sospendere le utenze finché non viene rispettato il Regolamento...
Quindi che si fa?[/xdom]
Quindi che si fa?[/xdom]
La serie proposta converge per $ x < - 1 \vv x >= 1 $ e se ne può anche determinare in modo relativamente semplice la somma, dato che si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^{n + 2}/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} $
Posto per comodità $y := - 1/x $ e $m := n + 2 $, la serie proposta diventa la seguente:
$ \sum_{m = 4}^{+\infty} y^m/(m + 1) = \sum_{m = 0}^{+\infty} y^m/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = 1/y \sum_{m = 0}^{+\infty} y^{m + 1}/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = $
$ = - (ln(1 - y))/y - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 $
per $- 1 <= y < 1 $. A questo punto, ricordando che $y := - 1/x $, si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} = x ln(1 + 1/x) - 1 + 1/(2x) - 1/(3x^2) + 1/(4x^3) = $
$ = \frac{12x^4 ln(1 + 1/x) - 12x^3 + 6x^2 - 4x + 3}{12x^3} $
per $x < - 1 \vv x >= 1 $
$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^{n + 2}/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} $
Posto per comodità $y := - 1/x $ e $m := n + 2 $, la serie proposta diventa la seguente:
$ \sum_{m = 4}^{+\infty} y^m/(m + 1) = \sum_{m = 0}^{+\infty} y^m/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = 1/y \sum_{m = 0}^{+\infty} y^{m + 1}/(m + 1) - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 = $
$ = - (ln(1 - y))/y - 1 - 1/2 y - 1/3 y^2 - 1/4 y^3 $
per $- 1 <= y < 1 $. A questo punto, ricordando che $y := - 1/x $, si ha:
$ \sum_{n = 2}^{+\infty} (-1)^n/((n + 3) x^{n + 2}) = \sum_{n = 2}^{+\infty} 1/(n + 3) (- 1/x)^{n + 2} = x ln(1 + 1/x) - 1 + 1/(2x) - 1/(3x^2) + 1/(4x^3) = $
$ = \frac{12x^4 ln(1 + 1/x) - 12x^3 + 6x^2 - 4x + 3}{12x^3} $
per $x < - 1 \vv x >= 1 $
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