Serie sui primi

[GB962]

Buonasera, volevo sapere se qualcuno riesce a risolvere questa serie:
\[\sum_{p\geq 2}^{\infty} \ln{\frac{p}{p-1}}\]
ho provato a scriverla come $\ln(\prod_{p\geq 2}^{\infty} \frac{p}{p-1})$ ma non mi viene in mente niente...
grazie mille per l'aiuto

[Sk_Anonymous]

Mi pare di ricordare che è :
(A) ${2 \cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdot 17\cdot \cdots \cdot p\cdot \cdots}/{1\cdot 2\cdot 4\cdot 6\cdot 10\cdot12\cdot 16\cdot \cdots \cdot (p-1)\cdot \cdots }=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+\cdots + \frac{1}{n}+\cdots $
Peranto, applicando il logaritmo ad entrambi i membri della (A) e passando al limite, si dovrebbe concludere che la serie proposta diverge dato che la serie che compare al secondo membro della (A) diverge , essendo niente altro che la famosa serie armonica.
Purtroppo non ricordo la dimostrazione della (A): si dovrebbe fare una ricerca sul web sui lavori di Eulero ( che di numeri primi se ne intendeva, oltre che di tutto il resto! Beato lui )

[Sk_Anonymous]

Bella soluzione: credo che possa andare tranquillamente. A me, "navicchiando" sul Web, è riuscito solo di trovare una generalizzazione risalente nientemeno che alla famosa funzione $zeta$ di Eulero-Riemann...ma che purtroppo non è applicabile alla serie armonica perché quest'ultima non converge.

[GB962]

Grazie mille! Avevo il sospetto che divergesse ma non avrei saputo come dimostrarlo, grazie ancora

[totissimus]

"ciromario":Bella soluzione: credo che possa andare tranquillamente

Io invece non sono tanto tranquillo perchè TEM manipola con disinvoltura serie notoriamente divergenti.
Che cosa significa la seguente uguaglianza scritta da TEM ?
\[ \tag{V} \frac{1\cdot 2\cdot 4\cdot 6\cdot 10\cdot\dots}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot \dots}S = 1 \; . \]
Quindi propongo un'altra soluzione.
Se $p$ è un numero primo abbiamo:

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{k}}=\frac{p}{p-1}$

Se $q$ è un altro numero primo abbiamo:

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{q^{k}}=\frac{q}{q-1}$

Quindi:

\(\displaystyle \frac{p}{p-1}\frac{q}{q-1}=\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p^{k}}\right)\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{q^{k}}\right)=\sum_{n\in A}\frac{1}{n}\)

essendo $A$l'insieme dei naturali i cui fattori primi sono in \(\left\{ p,q\right\} \)

Se poniamo $A_{k}$ l'insieme dei naturali i cui fattori primi sono
in \( \left\{ p_{1},p_{2,},\ldots,p_{k}\right\} \) abbiamo

$\frac{p_{1}}{p_{1}-1}\frac{p_{2}}{p_{2}-1}\ldots\frac{p_{k}}{p_{k}-1}=\sum_{n\in A_{k}}\frac{1}{n}$

Se $S_{n}=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{n}$ e $p_{k}$è il massimo
primo che divide qualcuno dei numeri $1,2,\ldots,n$ allora:

$S_{n}\leq\sum_{n\in A_{k}}\frac{1}{n}=\frac{p_{1}}{p_{1}-1}\frac{p_{2}}{p_{2}-1}\ldots\frac{p_{k}}{p_{k}-1}$

e dato che $S_n$ diverge diverge anche la produttoria.

[Sk_Anonymous]

Le "manipolazioni" di TeM non sono poi così destabilizzanti ( !) , visto che una dimostrazione assai simile l'ho trovata googlando sul Web all'indirizzo :
http://www.matapp.unimib.it/~leonardo/Eulero/Eulero.pdf
Ed allora come la mettiamo ?

[axpgn]

Non c'era quando hai postato il tuo ... misteri ...

[gugo82]

[xdom="gugo82"]Non vi preoccupate... Abbiamo intenzione di fare pulizia al più presto.


@ Lorenzo: Come diceva il Principe de Curtis, C.N.E.F.[/xdom]

[aizarg1]

Certo che con le serie divergenti bisogna andarci cauti altrimenti si rischia di scrivere cavolate.
Esempio:
$S=1+2+3+4+ \cdots$
$2S=2+4+6+8+\cdots$
$S-2S=-S=1+3+5+7+\cdots$