Serie su cui non so metter mano :(
ciao a tutti,
non riesco a metter mano a questa serie.. devo studiarne la convergenza al variare di alpha... ma anche se non ci fosse...
mi mette in crisi il fattoriale. tra l'altro come faccio a dire se e' una serie a termini positivi?
$\sum_{n=1}^\infty\ (n-arctan n!)/(n^\alpha)$
vi ringrazio anticipatamente per il vostro prezioso aiuto!
non riesco a metter mano a questa serie.. devo studiarne la convergenza al variare di alpha... ma anche se non ci fosse...
mi mette in crisi il fattoriale. tra l'altro come faccio a dire se e' una serie a termini positivi?
$\sum_{n=1}^\infty\ (n-arctan n!)/(n^\alpha)$
vi ringrazio anticipatamente per il vostro prezioso aiuto!
Risposte
SI tratta di una serie a termini positivi, quindi puoi applicare il confronto asintotico; quando $n\to+\infty$ a numratore hai che
\begin{align}
&n\to+\infty\\
&\arctan n!\to\pi/2 ,
\end{align}
pertanto
\begin{align}
\frac{n-\arctan n! }{n^{\alpha}}\sim\frac{n- \pi/2}{n^{\alpha}}\sim\frac{1}{n^{\alpha-1}},
\end{align}
da cui dovresti concludere.
\begin{align}
&n\to+\infty\\
&\arctan n!\to\pi/2 ,
\end{align}
pertanto
\begin{align}
\frac{n-\arctan n! }{n^{\alpha}}\sim\frac{n- \pi/2}{n^{\alpha}}\sim\frac{1}{n^{\alpha-1}},
\end{align}
da cui dovresti concludere.
grazie mille . a>2 vero?
$\sum_{n=2}^\infty\ [arctan (n/(n+2))-arctan ((n-2)/n)]^\alpha$
e questa?
e questa?
Taylor? 
O qualche formula trigonometrica che è troppo difficile da tenere a mente...
O qualche formula trigonometrica che è troppo difficile da tenere a mente...
io uso sempre mc laurin ma in questo caso nn si puo' no? l'argomento tende a 1
Embé?
Il polinomio di Taylor lo puoi scrivere comunque.
Oppure, puoi provare ad usare la formula di sottrazione dell'arcotangente, che dovrebbe essere una cosa simile:
\[
\arctan x - \arctan y = \arctan \left( \frac{x-y}{1+xy}\right)\; .
\]
Il polinomio di Taylor lo puoi scrivere comunque.
Oppure, puoi provare ad usare la formula di sottrazione dell'arcotangente, che dovrebbe essere una cosa simile:
\[
\arctan x - \arctan y = \arctan \left( \frac{x-y}{1+xy}\right)\; .
\]
l'ultima e poi nn scoccio piu' promesso!!
$\sum_{n=2}^\infty\ n^\alpha*[log((2n^2+2n+1)/(2n^2))- arctan(1/n)]$
ho usato il polin. di mclaurin e sono arrivata a 1/n^3*(4/3+1/n)/1/n^\alpha
studiando la possibilita' di convergenza dovrebbe venire per $3-\alpha >0 \alpha<3$ giusto?
poi nel dettaglio facendo confronto asint. $\alpha <2$?
$\sum_{n=2}^\infty\ n^\alpha*[log((2n^2+2n+1)/(2n^2))- arctan(1/n)]$
ho usato il polin. di mclaurin e sono arrivata a 1/n^3*(4/3+1/n)/1/n^\alpha
studiando la possibilita' di convergenza dovrebbe venire per $3-\alpha >0 \alpha<3$ giusto?
poi nel dettaglio facendo confronto asint. $\alpha <2$?
Non è che si capisca molto. In ogni caso, per i confronti locali si vede subito che
$$\log\left(\frac{2n^2+2n+1}{2n^2}\right)-\arctan\frac{1}{n}=\log\left(1+\frac{2n+1}{2n^2}\right)-\arctan\frac{1}{n}\sim\frac{2n+1}{2n^2}-\frac{1}{n}=\frac{1}{2n^2}$$
per cui il termine generale è asintotico a $n^2/{2n^2}=1/{2n^{2-\alpha}}$ e pertanto la serie converge solo quando $\alpha<3$.
P.S: la serie di termine generale $1/n^p$ (serie armonica generalizzata) converge quando $p>1$, non quando $p>0$.
$$\log\left(\frac{2n^2+2n+1}{2n^2}\right)-\arctan\frac{1}{n}=\log\left(1+\frac{2n+1}{2n^2}\right)-\arctan\frac{1}{n}\sim\frac{2n+1}{2n^2}-\frac{1}{n}=\frac{1}{2n^2}$$
per cui il termine generale è asintotico a $n^2/{2n^2}=1/{2n^{2-\alpha}}$ e pertanto la serie converge solo quando $\alpha<3$.
P.S: la serie di termine generale $1/n^p$ (serie armonica generalizzata) converge quando $p>1$, non quando $p>0$.
per possibilitaì di convergenza intendevo la verifica della condizione necessaria...
se si volesse procedere per passi successivi.
quindi ho pensato di mettere l'esponente >0 perche' cmq i llimite mi viene 0 e verifica la cond. nec. no?
se si volesse procedere per passi successivi.
quindi ho pensato di mettere l'esponente >0 perche' cmq i llimite mi viene 0 e verifica la cond. nec. no?
Ah, ok, pensavo stessi già valutando il tutto, dal momento che hai fatto un confronto asintotico (in genere, se applichi un criterio direttamente, è inutile alambiccarsi se il termine generale sia infinitesimo). Comunque, come vedi hai sbagliato qualcosa sui confronti.
"ciampax":
Non è che si capisca molto. In ogni caso, per i confronti locali si vede subito che
$$\log\left(\frac{2n^2+2n+1}{2n^2}\right)-\arctan\frac{1}{n}=\log\left(1+\frac{2n+1}{2n^2}\right)-\arctan\frac{1}{n}\sim\frac{2n+1}{2n^2}-\frac{1}{n}=\frac{1}{2n^2}$$
per cui il termine generale è asintotico a $n^2/{2n^2}=1/{2n^{2-\alpha}}$ e pertanto la serie converge solo quando $\alpha<3$.
P.S: la serie di termine generale $1/n^p$ (serie armonica generalizzata) converge quando $p>1$, non quando $p>0$.
io ho applicato mclaurin al secondo ordine per entrambe.. e' sbagliato??
$\log(\frac{2n^2+2n+1}{2n^2})-\arctan\frac{1}{n}=n^\alpha[\log(1+1/n+1/(2n^2))-\arctan\frac{1}{n}]=n^\alpha[(1/n+1/(2n^2)-1/2(1/n+1/(2n^2))^2-1/n+1/(3n^3)]=n^\alpha[(1/n+1/(2n^2)-1/2(1/n^2+1/(4n^4)+1/n^3)-1/n+1/(3n^3)]=n^\alpha[1/n+1/(2n^2)-1/(2n^2)-1/(8n^4)-1/(2n^3)-1/n+1/(3n^3)]=n^\alpha[-1/(8n^4)-1/(2n^3)+1/(3n^3)]=n^\alpha[-1/(8n^4)-1/(6n^3)]=n^(\alpha-3)[-1/(8n)-1/6]~1/n^(3-\alpha)$
converge per $3-\alpha>1$ quindi per $\alpha<2 $ no?
Mi sa che c'hai ragione tu! 
pero' mi hai fatto venire il dubbio... a che ordine mi fermo con mclaurin???
nn sono mai sicura di fermarmi all'ordine giusto quando applico mclaurin...
l'unica cosa che so e' che nn mi deve venire uno 0 algebrico.
ma fermandosi al primo ordine nn viene 0 quindi in teoria andrebbe bene anche fermarsi al 1 no??
nn sono mai sicura di fermarmi all'ordine giusto quando applico mclaurin...
l'unica cosa che so e' che nn mi deve venire uno 0 algebrico.
ma fermandosi al primo ordine nn viene 0 quindi in teoria andrebbe bene anche fermarsi al 1 no??
No, in realtà hai fatto (intuitivamente) la cosa più sensata: il fatto che ci fosse un quadrato al denominatore, suggeriva la possibilità che anche il termine quadrato nello sviluppo del logaritmo andasse preso. In realtà non c'è un metodo, a priori, per decidere dove fermarsi: con un po' di pratica e la giusta osservazione, si riesce a capire come comportarsi.
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