Serie Studio Conv Uniforme

[nunziox]

$sum (n^xlogn)/(n^2+1)$

Studiare convergenza uniforme.

Per studiare la uniforme devo prima trovare l'insieme di convergenza puntuale visto che la uniforme implica la puntuale.
Solo che con questo tipo di serie ho un poco di difficoltà a trovare l'insieme di convergenza puntuale.

La serie si comporta come:

$sum (logn)/(n^(2-x))$

da qui noto che per $x>=2$ la serie non può convergere perché il limite del termine generale non tende a 0 il che è condizione necessaria affinché ci sia convergenza puntuale.

per $x<=2$
non riesco bene a capire come si comporta... usando i teoremi del confronto non riesco a vedere molto... forse con il criterio di raabe.. voi che consiglio date?

[Lorin1]

"nunziox":La serie si comporta come: $sum (logn)/(n^2-x)$

Come sei arrivato a questa conclusione!?...te lo chiedo perchè non mi trovo per niente..

Per quanto riguarda la convergenza puntuale, io avrei ragionato in questo modo:
Quando studiamo la convergenza puntuale quello che si fa è fissare $x$ e lavorare con $n in NN$, andando a studiare:

$lim_(n->+oo)(n^xlogn)/(n^2+1) \sim lim_(n->+oo)(n^xlogn)/n^2 \sim lim_(n->+oo)n^(x-2)logn$

e ora dato che per la condizione necessaria per la convergenza quel limite deve fare $0$, allora devi cercare di ricavarti delle condizioni sulla $x$ affinchè ciò accada.

[nunziox]

si mi era scappata una parentesi... ho corretto ora abbiamo scritto la stessa cosa ... ho trovato quando non fa 0 quindi non converge cioè per $x>=2$ per $x<2$ fa 0 ma ciò non può implicare che converge giusto? Dovrei provare per confronto ?

[Lorin1]

Si nell'ipotesi in cui $x<2$ ci siamo garantiti la condizione necessaria per la convergenza della serie. Ora dalle considerazioni precedentemente fatte possiamo dire ad esempio che $logn/n^(2-x) \sim 1/n^(2-x)$ quindi la serie di partenza tramite il criterio del confronto asintotico sarà asintotica a $sum_(n=1)^(+oo)1/n^(2-x)$ che è una serie armonica, da cui ricavi la restante condizione per la convergenza puntuale...