[Serie] Somme approssimate

[The_Mad_Hatter]

Onestamente non ho capito molto su come calcolare dei valori approssimati di una serie.. più che altro sono spesso in difficoltà nel trovare una maggiorazione della serie resto n-esimo.

In questo caso ho $sum_(n=1)^(+oo) (2n-3)/(n+1)*sin(1/n^2)$
Pertanto $|S-s_n| = r_n = sum_(k=n+1)^(+oo) (2k-3)/(k+1)*sin(1/k^2)$

E dopo?
Dovrei trovare una successione $R_n$ tale che definitivamente risulti $|r_n| <= R_n$ per poter porre $R_n < \epsilon$, giusto?


Ma come trovo questo $R_n$?

Qualche suggerimento..?

[gugo82]

Provato a tenere a mente la relazione [tex]$\sin x\leq x$[/tex] (per [tex]$x\geq 0$[/tex]), la monotonia della successione [tex]$\frac{2n-3}{n+1}=2-\frac{5}{n+1}$[/tex] ed il fatto che [tex]$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} =\frac{\pi^2}{6}$[/tex]?

[The_Mad_Hatter]

"gugo82":Provato a tenere a mente la relazione [tex]$\sin x\leq x$[/tex] (per [tex]$x\geq 0$[/tex]), la monotonia della successione [tex]$\frac{2n-3}{n+1}=2-\frac{5}{n+1}$[/tex] ed il fatto che [tex]$\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} =\frac{\pi^2}{6}$[/tex]?

Ok, allora sicuramente $(2n-3)/(n+1) < 2$ e fin qui c'ero

Ma quella che mi hai scritto è una serie notevole? non la conoscevo... beh allora a questo punto si può dire che $sum sin(1/n^2) <= sum 1/n^2 <= \pi^2/6$ giusto?

Pertanto la mia serie è maggiorata da $\pi^2/3$? Ma questo non ha molto senso... :\ dov'è finita la mia $n$?

[gugo82]

In effetti avevo riposto le mie speranze nel fatto che [tex]$\tfrac{2n-3}{n+1}$[/tex] fosse decrescente, cosa che evidentemente non è.
Capita.

Allora facciamo così...

Per la disuguaglianza del seno richiamata in precedenza si ha:

[tex]$|r_N|=r_N\leq \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{2n-3}{n+1}\ \frac{1}{n^2}$[/tex].

L'addendo della serie [tex]\sum_{n\geq N+1} \tfrac{2n-3}{n+1}\ \tfrac{1}{n^2}[/tex] (che è assolutamente convergente per ogni [tex]$N$[/tex]) è decomponibile in fratti semplici, cioè si possono determinare tre costanti [tex]$A,B,C$[/tex] tali che per ogni [tex]$n$[/tex]:

[tex]$\frac{2n-3}{n^2(n+1)} =\frac{A}{n+1} +\frac{B}{n}+ \frac{C}{n^2}$[/tex];

applicando il principio d'identità dei polinomi (o qualunque altro metodo ti piaccia) e salvo errori di calcolo, si vede che [tex]$A=-5, B=5, C=-3$[/tex] sono le costanti che fanno al caso nostro, giacché:

[tex]$\frac{2n-3}{n^2(n+1)} =-\frac{5}{n+1} +\frac{5}{n}- \frac{3}{n^2}$[/tex].

A questo punto notiamo che la serie [tex]\sum_{n\geq N+1} \tfrac{2n-3}{n+1}\ \tfrac{1}{n^2}[/tex] è incondizionatamente convergente (perchè è assolutamente convergente), ergo si possono manipolare i suoi addendi come se si trattasse di una somma finita: in particolare si può scrivere:

[tex]$\sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{2n-3}{n+1}\ \frac{1}{n^2} = 5\cdot \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n} -\frac{1}{n+1} \ -3\cdot \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$[/tex]
[tex]$=\frac{5}{N+1}-3\cdot \sum_{n=N+1}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$[/tex]

Quella all'ultimo membro della precedente è la successione infinitesima che ti interessa, giacché si ottiene come somma della successione infinitesima di termine generale [tex]$\tfrac{5}{N+1}$[/tex] e della successione dei resti di una serie convergente, ossia [tex]-3\cdot \sum \frac{1}{n^2}[/tex].

P.S.: Il risultato [tex]$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} =\frac{\pi^2}{6}$[/tex] è dovuto ad Eulero (anche se la sua dimostrazione, al tempo non rigorosissima, è stata provata valida un po' posteriormente); poi è stato dimostrato con altre tecniche, anche abbastanza elementari.
Vedi qui per un ragguaglio completo.

[gugo82]

Non è dato sapere se la soluzione è piaciuta?

[The_Mad_Hatter]

"gugo82":Non è dato sapere se la soluzione è piaciuta?

Piaciuta sì, il fatto è che non credo che riuscirei a fare altrettanto all'esame su una generica ed in più in tempo stringe quindi mi affiderò alla buona sorte


P.S.: Grazie per il link sulla serie!