Serie simpatica

[vl4dster]

allora, sta cosina mi ha fatto un po' penare... sono giunto a una conclusione ma e' stato piu' che altro per culo.
quindi vi chiedo se vi viene in mente qualcosa di piu' immediato:

$sum_{n=1}^{+oo}log[n*sin(1/n)]$ (1)

l'idea e': se $0<=t<=pi/2$ allora $sin(t)<=t$ quindi $sin(1/n) <= 1/n$ per $n>=1$, quindi per $n -> oo$ l'argomento del logaritmo va
a 1 da valori piu' piccoli di 1, e quindi la serie _non_ e' a termini positivi.

Supponiamo pero' che $sum_{n=1}^{+oo}|log[n*sin(1/n)]|$ converga, allora converge assolutamente e quindi anche semplicemente.

Resta da stabilire se la serie in valore assoluto converge. Dopo averle provate un po' tutte (magari mi e' sfuggito qualcosa)
ho provato un po' senza speranza a cercare un asintotico:

$lim_{n->∞}|log[sin(1/n)*n]|/(1/n^2)$

usando 2 volte l'hopital mi viene $1/6$

quindi dato che $sum_{n=1}^∞1/n^2$ converge, la (1) converge assolutamente

[Thomas16]

Beh... con Taylor la si confronta con una asintotica... procedimento usuale per quanto ne so:

$sum_{n=1}^{+oo}log[n*sin(1/n)]=$

$=sum_{n=1}^{+oo}log[1-1/(3n^2)+o(1/n^2)]=$

$=sum_{n=1}^{+oo}log[1-1/(3n^2)+o(1/n^2)]=$

$=sum_{n=1}^{+oo}[-1/(3n^2)+o(1/n^2)]=$

$=sum_{n=1}^{+oo}[-1/n^2*O(1)]$

e quindi converge...

ps: è vero che la serie non è a termini positivi, ma è come se lo fosse, visto che è a termini negativi...