Serie riconducibile ad una serie di potenze

[CallistoBello]

Mi servirebbe una conferma sullo svolgimento di questo esercizio.

Determinare l' intervallo di convergenza delle seguenti serie di potenze reali :
$sum_(n=1)^(+oo) x^n/(1-x)^(2n)$


Mio ragionamento:
$sum_(n=1)^(+oo) x^n/(1-x)^(2n)=sum_(n=1)^(+oo) [x/(1-x)^(2)]^n$

Sostituzione: $t=x/(1-x)^2$

La serie diventa: una serie di potenze di centro l'origine : $sum_(n=1)^(+oo) t^n$

Abbiamo che: $a_n=1$ , quindi $lim |a_n|^(1/n) =1$, quindi $R=1$

Per il teorema sul raggio di convergenza, la serie in t
- converge per $|t|<1$

Ora , esplicito la variabile x , ottenendo che:
- la serie di potenze converge per $|x/(1-x)^2|<1$

Considerato che le funzioni $f_n$ non sono definite per $x=1$, possiamo affermare che:

- assunto $x!=1$ , la serie di partenza converge per $-1

Corretto?

[Mephlip]

"CallistoBello":
$sum_(n=1)^(+oo) x^2/(1-x)^(2n)=sum_(n=1)^(+oo) [x/(1-x)^(2)]^n$

C'è un errore di trascrizione ed è $x^n$ al numeratore del membro di sinistra?

[CallistoBello]

Si, scusami.
Ho modificato.

[Mephlip]

Non c'è bisogno di scusarsi, ci mancherebbe! Come hai risolto $|\frac{x}{(1-x)^2}|<1$? Non mi torna l'intervallo delle $x$ per cui c'è convergenza. È sicuramente sbagliato, visto che per $x=1/2 \in (-1,1)$ al membro di sinistra della disequazione ottieni $2$ e $2\ge 1$.

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

Scusami eh, ma non faresti prima osservando che si tratta di una serie geometrica?

$ \sum_{n = 1}^{+\infty} x^n/(1-x)^(2n)=\sum_{n = 1}^{+\infty} [x/(1-x)^2]^n = \sum_{n = 0}^{+\infty} [x/(1-x)^2]^n - 1 = 1/(1 - x/(1-x)^2) - 1 = $
$ = (1 - x)^2/((1 - x)^2 - x) - 1 = ((1 - x)^2 - (1 - x)^2 + x)/(x^2 - 3x + 1) = x/(x^2 - 3x + 1) $

per $|x/(1-x)^2| < 1 \iff x < 3/8 \vv x > (\sqrt5 + 3)/2 $

[CallistoBello]

Ho risolto la disuguaglianza di un valore assoluto:

Se $b>=0$,
la disequazione $|g(x)| -b ):} $

Nel nostro caso: $ { ( x/(1-x)^2 < 1 ),( x/(1-x)^2> -1 ):} $

1)
$x/(1-x)^2 <1$
Mi riconduco ad una maggiorazione con lo 0
$(-x^2+3x-1)/(1-x)^2 <0 $
$(x^2-3x+1)/(1-x)^2>0$

Studio del segno del rapporto
NUM: $x^2-3x+1>0$ (che è una parabola con concavità verso l'alto)
DEN: $(1-x)^2>0$

[NUM]
Per risolvere una disequazione, prima trovo le radici dell'equazione equivalente
(nel nostro caso: le intersezioni con l'asse x di quella parabola):

$x/(1-x)^2-1=(x-(1-x)^2)/(1-x)^2=(x-(1-2x+x^2))/(1-x)^2=(x-x^2+2x-1)/(1-x)^2=(-x^2+3x-1)/(1-x)^2= 0$

$x^2-3x+1=0$
$Delta=9-4=5$
$x_(1,2)=(3+-sqrt(5))/2$ --> $x_1=(-3-sqrt(5))/2$,$x_2=(-3+sqrt(5))/2$

La parabola è positiva per "valori esterni" $x<(-3-sqrt(5))/2$ U $x>(3+sqrt(5))/2$

[DEN]
$(1-x)^2>0$ per $x!=1$


La disuguaglianza è verificata per : $x<(-3-sqrt(5))/2$ U $x>(3+sqrt(5))/2$

2)
$x/(1-x)^2> -1$
$(x^2-x+1)/(1-x)^2>0$
NUM:$(x^2-x+1)>0$ $AA x in R$
DEN: $(1-x)^2>0$ per $x!=1$

La disuguaglianza è verifica per : $x!=1$


L'intersezione delle soluzioni è: $x<(-3-sqrt(5))/2$ U $x>(3+sqrt(5))/2$

[Mephlip]

Sbagli la formula risolutiva: in $x_1$ e $x_2$ compare $\sqrt{\Delta}$, non $\Delta$. Poi, perché rifai i conti per l'equazione? Li hai già fatti quando hai impostato $\frac{x}{(1-x)^2}-1 <0$ vedendo che è equivalente a $\frac{x^2-3x+1}{(1-x)^2}>0$. Devi inoltre risolvere anche l'altra disequazione e prendere l'intersezione dei due insiemi delle soluzioni. L'intervallo corretto è quello riportato da pilloeffe.

[pilloeffe]

"Mephlip": Devi inoltre risolvere anche l'altra disequazione e prendere l'intersezione dei due insiemi delle soluzioni. L'intervallo corretto è quello riportato da pilloeffe.

Imfatti. Aggiungo che il denominatore $(1 - x)^2 $ dove ha senso considerarlo (cioè per $x \ne 1$) è ovviamente sempre positivo, quindi è inutile studiarne il segno e ti basta studiare il segno del numeratore (correttamente però... )

[CallistoBello]

"Mephlip":Sbagli la formula risolutiva: in $x_1$ e $x_2$ compare $\sqrt{\Delta}$, non $\Delta$... L'intervallo corretto è quello riportato da pilloeffe.

Credo di aver corretto.
Ma non trovo il $3/8$

"Mephlip": Poi, perché rifai i conti per l'equazione?

Se evito lo step della risoluzione dell'equazione associata, è comunque formalmente corretto?

@pilloeffe
Wolfram conferma il tuo risultato: $|x/(1-x)^2|<1$ per $(-oo,3/8)U((3+sqrt(5))/2,+oo)$
Tuttavia, Mathway conferma il mio risultato: $|x/(1-x)^2|<1$ per $(-oo,(3-sqrt(5))/2)U((3+sqrt(5))/2,+oo)$

[Mephlip]

"CallistoBello":
Credo di aver corretto.
Ma non trovo il $3/8$
...
@pilloeffe
Wolfram conferma il tuo risultato: $|x/(1-x)^2|<1$ per $(-oo,3/8)U((3+sqrt(5))/2,+oo)$
Tuttavia, Mathway conferma il mio risultato: $|x/(1-x)^2|<1$ per $(-oo,(3-sqrt(5))/2)U((3+sqrt(5))/2,+oo)$

Ho fatto i conti, a parte un segno meno che compare sul $3$ di $x_1$ nelle tue formule risolutive è come hai fatto tu. L'insieme delle soluzioni è $\left(-\infty,\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2},+\infty\right)$. Wolfram "sbaglia" perché pensa come se stessimo in $\mathbb{C}$, infatti se gli dici "Solve $|\frac{x}{(1-x)^2}|<1$ over the reals" restituisce il tuo risultato/quello di Mathway, che è quello corretto.

Ti rimane da verificare che cosa succede quando $|\frac{x}{(1-x)^2}|=1$ perché il criterio della radice non ti dà informazioni per quel caso; ossia, devi studiare esplicitamente le serie corrispondenti a $x=x_1$ e $x=x_2$. Chiaramente, se procedi con la geometrica non devi farlo (di solito è la strada più efficiente).

"CallistoBello":
Se evito lo step della risoluzione dell'equazione associata, è comunque formalmente corretto?

In che senso formalmente corretto? Stai risolvendo una disequazione di secondo grado, il passaggio con l'equazione serve esclusivamente a trovare gli zeri e quindi scrivere il membro di sinistra come prodotto di fattori di primo grado. Poi, da lì, procedi con la regola dei segni per un prodotto.

P.S.: Nel tuo spoiler scrivi $b \ge 0$, ma se $b=0$ l'equazione $|g(x)|<0$ non ammette soluzioni. Quindi, vale per $b>0$.

[pilloeffe]

Chiedo scusa, ha ragione Mephlip, il risultato corretto è il seguente:

$ x < (3-\sqrt(5))/2 \vv x > (3+\sqrt(5))/2 $

Non correggo il post precedente solo perché altrimenti non si comprenderebbe bene la discussione successiva.
https://www.wolframalpha.com/input?i=x%2F%281-x%29%5E2+%3C1+and+x%2F%281-x%29%5E2+%3E+-+1

[CallistoBello]

"Mephlip":Ti rimane da verificare che cosa succede quando $|\frac{x}{(1-x)^2}|=1$ perché il criterio della radice non ti dà informazioni per quel caso; ossia, devi studiare esplicitamente le serie corrispondenti a $x=x_1$ e $x=x_2$. Chiaramente, se procedi con la geometrica non devi farlo (di solito è la strada più efficiente).

Perché con la geometrica starei considerando il caso della serie di ragione: $q=1$ che quindi diverge?

"Mephlip":
In che senso formalmente corretto? Stai risolvendo una disequazione di secondo grado, il passaggio con l'equazione serve esclusivamente a trovare gli zeri e quindi scrivere il membro di sinistra come prodotto di fattori di primo grado. Poi, da lì, procedi con la regola dei segni per un prodotto.

Chiaro.

"Mephlip":
P.S.: Nel tuo spoiler scrivi $b \ge 0$, ma se $b=0$ l'equazione $|g(x)|<0$ non ammette soluzioni. Quindi, vale per $b>0$.

Si sono d'accordo, perché la funzione valore assoluto vive nel semipiano superiore.

[Mephlip]

Sì, esatto. Per una serie geometrica sai già che c'è convergenza se e solo se la ragione in modulo è strettamente minore di $1$. Invece, i criteri della radice/rapporto sono solamente implicazioni nei casi in cui il limite corrispondente ai criteri è strettamente maggiore di $1$ o strettamente minore di $1$.