Serie radice n-esima

[nic111]

Ciao,
Come mai questa serie non diverge ? Dove sbaglio?
Testo:
$\sum_{n=0}^\infty ((2n!)^(1/4))/(n+2)^(n/2)$

Applico il criterio del rapporto
$\lim_{n \to \infty} ((2n+1!)^(1/4))/(n+3)^((n+1)/2)* ((n+2)^(n/2))/((2n!)^(1/4)) $

$\lim_{n \to \infty} ((n+2)/(n+3))^(n/2) ((2n+1)^(1/4))/(n+3)^(1/2)$

Quindi rimane solo:
$\lim_{n \to \infty} ((n+2)/(n+3))^(n/2) 1/(n^(1/2)*n^(-1/4))$

$\lim_{n \to \infty} ((n+2)/(n+3))^(n/2) 1/n^(1/4)$ ~ $\lim_{n \to \infty}1/n^(1/4)$

La serie diverge anziché convergere come mai ?

Grazie in anticipo.

[pilloeffe]

Ciao nic11,

"nic11":Dove sbaglio?

Sei recidivo...
Sbagli sempre nell'applicazione del criterio del rapporto: quando vai a sostituire $n + 1 $ al posto di $n$ in $(2n!) $ ottieni $2(n + 1)! = (2n + 2)! $ non $(2n + 1)! $

[nic111]

Ah ops hai ragione
Grazie ancora!

[nic111]

Però ora mi è sorto un dubbio, una volta arrivato a questo punto:
$\lim_{n \to \infty} ((2n+2)^(1/4)*(2n+1)^(1/4))/n^(1/2)$
è corretto utilizzare la stima asintotica e riscrivere:

$\lim_{n \to \infty} ((2n)^(1/4)*(2n)^(1/4))/n^(1/2)$

Quindi:
$\lim_{n \to \infty} (2n)^(1/2)/n^(1/2)$

E ritrovarmi come risultato $sqrt(2)$ o ho perso qualcosa per strada perchè cosi la serie continuerebbe a divergere dato che il limite rimane maggiore di 1 ?