Serie: Quando la convergenza assoluta e Leibniz falliscono
In questo giorni ho visto diversi messaggi relativi all'applicazione del criterio della convergenza assoluta e del criterio di Leibniz per le serie numeriche: quando fallisce l'uno ci soccorre l'altro, sembra un pò l'idea che circola. Ma in realtà quando falliscono tutti e due in problema per la determinazione della carattere può essere un problema. Di seguito posto un esempio in cui , fallendo i due criteri , si può intraprendere una strada (non sempre facile, e nemmeno pratica) per sperare capire il carattere della serie. Spero possa essere utile a chi stia studiando le serie, e in tale ottica se qualcuno più esperto nota degli errori o delle imprecisioni, non tardi a farle notare. 
L'esercizio è il seguente:
Determinare il carattere della serie:
$$\color{purple}{\sum_{n=1}^\infty\,\,(-1)^{n+1}\frac{1}{n+\frac{3}{2}\left[1-(-1)^n\right]}}$$
$${\bf Soluzione }$$
Si osserva, assegnando i valori ad $n,$ che si tratta di una serie a segni alterni, infatti:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,(-1)^{n+1}\frac{1}{n+\frac{3}{2}\left[1-(-1)^n\right]}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{6}+\frac{1}{10}-\frac{1}{8}+\cdots
\end{align*}
e l'andamento dei primi termini sembra indicare che la serie converga a $-\frac{1}{2},$ semplificandosi tutti i termini come si può notare; sfortunatamente ( o fortunatamente) non stiamo davanti ad un problema di culinaria, e dunque questa congettura va verificata matematicamente ... cioè non basta "assaggiare" per dire che è buona!
Studiamo la convergenza assoluta della serie:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,\left|(-1)^{n+1}\frac{1}{n+\frac{3}{2}\left[1-(-1)^n\right]}\right|&=\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{1}{n+\frac{3}{2}\left[1-(-1)^n\right]}\\
&=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} +\frac{1}{6} +\frac{1}{10} +\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\cdots \\
&=\frac{1}{2}\left({\bf \frac{1}{2}}+1+{\bf \frac{1}{3}}+\frac{1}{2}+{\bf \frac{1}{4}}+\frac{1}{3}+{\bf \frac{1}{5}}+\frac{1}{4}+{\bf \frac{1}{6}}+\cdots+{\bf \frac{1}{n+1}}+\frac{1}{n}+\cdots\right)
\end{align*}
e come si può osservare sia la somma dei posti dispari (in grassetto) sia la somma dei posti dari è una serie armonica che diverge, e dunque la serie data diverge assolutamente (perchè somma di due serie divergenti); per la convergenza nemmeno il criterio di Leibniz ci soccorre, in quanto anche se li termine generale è infinitesimo, la serie non è decrescente, come si può notare confronando i termini successivi
\begin{align*}
\frac{1}{4}<\frac{1}{2}>\frac{1}{6}<\frac{1}{4}>\frac{1}{8} <\frac{1}{6} >\frac{1}{10} <\frac{1}{8}>\frac{1}{12} \cdots ;
\end{align*}
a questo punto, possiamo provare a considerare la successione delle somme parziali e sperare che ci dia indicazioni sull'andamento della serie; allora, per definizione abbiamo che:
\begin{align*}
&S_1=\frac{1}{4} & S_2&=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\
&S_3=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6} &S_4&=-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\\
&S_5=-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8} &S_6&=-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\\
&S_7=-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10} &S_8&=-\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\\
&S_9=-\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12} & S_{10}&=-\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\\
\cdots \cdots\\
&S_{2n-1}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+2} &S_{2n }&=-\frac{1}{2}+(-1)^n +\frac{1}{2n+2}\\
\end{align*}
allora sappiamo che il limite delle somme parziali è la somma della serie, dunque:
\begin{align*}
&\lim_{n \to +\infty}S_{2n-1}=\lim_{n \to +\infty}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+2}=-\frac{1}{2}\\
&\lim_{n \to +\infty}S_{2n }=\lim_{n \to +\infty}-\frac{1}{2}+(-1)^n +\frac{1}{2n+2}=-\frac{1}{2}
\end{align*}
e per l'unicità del limite, la serie converge ed ha per somma $-\frac{1}{2}. $
L'esercizio è il seguente:
Determinare il carattere della serie:
$$\color{purple}{\sum_{n=1}^\infty\,\,(-1)^{n+1}\frac{1}{n+\frac{3}{2}\left[1-(-1)^n\right]}}$$
$${\bf Soluzione }$$
Si osserva, assegnando i valori ad $n,$ che si tratta di una serie a segni alterni, infatti:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,(-1)^{n+1}\frac{1}{n+\frac{3}{2}\left[1-(-1)^n\right]}=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{6}+\frac{1}{10}-\frac{1}{8}+\cdots
\end{align*}
e l'andamento dei primi termini sembra indicare che la serie converga a $-\frac{1}{2},$ semplificandosi tutti i termini come si può notare; sfortunatamente ( o fortunatamente) non stiamo davanti ad un problema di culinaria, e dunque questa congettura va verificata matematicamente ... cioè non basta "assaggiare" per dire che è buona!
Studiamo la convergenza assoluta della serie:
\begin{align*}
\sum_{n=1}^\infty\,\,\left|(-1)^{n+1}\frac{1}{n+\frac{3}{2}\left[1-(-1)^n\right]}\right|&=\sum_{n=1}^\infty\,\, \frac{1}{n+\frac{3}{2}\left[1-(-1)^n\right]}\\
&=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8} +\frac{1}{6} +\frac{1}{10} +\frac{1}{8}+\frac{1}{12}+\cdots \\
&=\frac{1}{2}\left({\bf \frac{1}{2}}+1+{\bf \frac{1}{3}}+\frac{1}{2}+{\bf \frac{1}{4}}+\frac{1}{3}+{\bf \frac{1}{5}}+\frac{1}{4}+{\bf \frac{1}{6}}+\cdots+{\bf \frac{1}{n+1}}+\frac{1}{n}+\cdots\right)
\end{align*}
e come si può osservare sia la somma dei posti dispari (in grassetto) sia la somma dei posti dari è una serie armonica che diverge, e dunque la serie data diverge assolutamente (perchè somma di due serie divergenti); per la convergenza nemmeno il criterio di Leibniz ci soccorre, in quanto anche se li termine generale è infinitesimo, la serie non è decrescente, come si può notare confronando i termini successivi
\begin{align*}
\frac{1}{4}<\frac{1}{2}>\frac{1}{6}<\frac{1}{4}>\frac{1}{8} <\frac{1}{6} >\frac{1}{10} <\frac{1}{8}>\frac{1}{12} \cdots ;
\end{align*}
a questo punto, possiamo provare a considerare la successione delle somme parziali e sperare che ci dia indicazioni sull'andamento della serie; allora, per definizione abbiamo che:
\begin{align*}
&S_1=\frac{1}{4} & S_2&=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\\
&S_3=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{6} &S_4&=-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\\
&S_5=-\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8} &S_6&=-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}\\
&S_7=-\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10} &S_8&=-\frac{1}{2}+\frac{1}{10}\\
&S_9=-\frac{1}{2}+\frac{1}{10}+\frac{1}{12} & S_{10}&=-\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\\
\cdots \cdots\\
&S_{2n-1}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+2} &S_{2n }&=-\frac{1}{2}+(-1)^n +\frac{1}{2n+2}\\
\end{align*}
allora sappiamo che il limite delle somme parziali è la somma della serie, dunque:
\begin{align*}
&\lim_{n \to +\infty}S_{2n-1}=\lim_{n \to +\infty}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n+2}=-\frac{1}{2}\\
&\lim_{n \to +\infty}S_{2n }=\lim_{n \to +\infty}-\frac{1}{2}+(-1)^n +\frac{1}{2n+2}=-\frac{1}{2}
\end{align*}
e per l'unicità del limite, la serie converge ed ha per somma $-\frac{1}{2}. $
Risposte
Segnalo solo la presenza di un \((-1)^n\) di troppo nelle somme parziali \(S_{2n}\).
@Rigel :
Grazie...se non scrivo qualche fesseria non sono felice!
@Guguo82
quello era veramente bello come esempio di serie patologica! grazie per la dritta
Grazie...se non scrivo qualche fesseria non sono felice!
@Guguo82
quello era veramente bello come esempio di serie patologica! grazie per la dritta
Grandissimi gugo e Noise, grazie infinite perchè io sono uno di quelli che sta incontrando qualche difficoltà con le serie.
Una domanda: la conclusione che la serie con cui si lavora è una serie equivalente alla serie armonica, deve avvenire sempre dopo aver fatto tentativi con $n=1$, $n=2$, $n=...$ ? Con questo metodo '' artigianale '' ?
Una domanda: la conclusione che la serie con cui si lavora è una serie equivalente alla serie armonica, deve avvenire sempre dopo aver fatto tentativi con $n=1$, $n=2$, $n=...$ ? Con questo metodo '' artigianale '' ?
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