[SERIE] Quale procedimento è corretto?

[Kemix1]

Ciao a tutti,
ho trovato una discordanza di risultati nel risolvere una serie con due criteri differenti. La serie è questa:
$ sum_(n = 2) 1/(lognlog(n!)) $
Ho pensato che poiché per $n->oo$ :
$ log(n!) ~~ nlog(n) $
Allora:
$ 1/(lognlog(n!)) ~~ 1/(nlog^2(n) $
Fatta questa premessa, ho utilizzato prima il criterio di condensazione di cauchy e poi il criterio integrale.
1) criterio condensazione cauchy
-la serie è a termini positivi
-${a_n}$ è decrescente
Quindi:
$ sum_(n = 2) 1/(nlog^2n)=sum_(n = 2) 2^n/(2^nlog^2(2^n)) $
Saltando qualche passaggio mi ritrovo:
$ 1/log^2(2)sum_(n = 2) 1/n $
Serie armonica di esponente 1 e quindi divergente.

2) criterio integrale
Sia $a_n=f(n)=1/(nlog^2(n))$
La funzione è continua, positiva e decrescente in $[2,+oo]$ quindi la serie converge se converge l'integrale:
$ int_(2)^(oo) 1/n (logn)^(-2) dx $

Facendo un po' di calcoli, l'integrale effettivamente converge a $1/log2$ .

Sono un po' confuso, credo di aver sbagliato a verificare le ipotesi ma al momento non capisco quale sia l'errore e quindi quale sia il procedimento corretto.
Grazie in anticipo.

[otta96]

$ln^2(2^n)$ a cosa è uguale?