Serie: qualcuno me la corregge?

[Krav982]

Ragazzi, ho la necessità impellente di sapere se ho studiato bene la convergenza di questa serie. All'esame non me l'hanno data per buona: che cosa ho sbagliato????
La serie è questa:

$ sum_(n = 1)^(oo) |(1+1/n-2/n^2)^(5/2)-1-5/(2n)|^n n^(2n) n^(-3) $

Ho fatto un'analisi asintotica e ho visto che

$ sum_(n = 1)^(oo) |(1+1/n-2/n^2)^(5/2)-1-5/(2n)|^n n^(2n) n^(-3) ~~ sum_(n = 1)^(oo) (5/(2n))^n n^(2n) n^(-3) = sum_(n = 1)^(oo) ((5n)/(2))^n n^(-3) $

A questo punto ho applicato il criterio della radice ottenendo che:

$lim_(n -> oo ) (((5n)/(2))^n n^(-3))^(1/n)=lim_(n -> oo )((5n)/(2))*n^(-3/n)=oo $


A questo punto dato che il limite è superiore a 1 allora la serie diverge e quindi diverge anche la serie data. Che ho sbagliato?????

[ilbuonuomo-votailprof]

Lo sviluppo asintotico di $(1+1/n-2/n^2)^(5/2)$ è $1+5/2(1/n-2/n^2)+o(1/n^2)=1+5/(2n)-5/n^2+o(1/n^2)$ per n$-> oo$
La tua serie quindi è asintotica a:
$\sum (5/n^2)^n*n^(2n)*n^(-3)$
ovvero:
$\sum 5^n/n^3$
che è una serie divergente in quanto la successione degli an non è infinitesima per n$-> oo$
Quindi la serie risulta essere divergente.

[Krav982]

"ilbuonuomo":Lo sviluppo asintotico di $(1+1/n-2/n^2)^(5/2)$ è $1+5/2(1/n-2/n^2)+o(1/n^2)=1+5/(2n)-5/n^2+o(1/n^2)$ per n$-> oo$
La tua serie quindi è asintotica a:
$\sum (5/n^2)^n*n^(2n)*n^(-3)$
ovvero:
$\sum 5^n/n^3$
che è una serie divergente in quanto la successione degli an non è infinitesima per n$-> oo$
Quindi la serie risulta essere divergente.

Ti ringrazio.