[Serie] Problema con la convergenza

[Euphurio]

Mi interessa provare che $\prod_{n=1}^{+\infty} (1+\frac{1}{n})^{-1} e^{\frac{1}{n}}$ è convergente.

dopo semplici calcoli ottengo $e^{-\sum_{n=1}^{+\infty} \log(1+\frac{1}{n})+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}}$

Tutto sta quindi a provare che la serie converge...per confronto asintotico con la serie armonica ottendo però la divergenza. C'è qualcosa che non quadra.

[Mikk_90]

"Euphurio":Mi interessa provare che $\prod_{n=1}^{+\infty} (1+\frac{1}{n})^{-1} e^{\frac{1}{n}}$ \e convergente.

dopo semplici calcoli ottengo $e^{-\sum_{n=1}^{+\infty} \log(1+\frac{1}{n})+\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n}}$

Tutto sta quindi a provare che la serie converge...per confronto asintotico con la serie armonica ottendo però la divergenza. C'è qualcosa che non quadra.

In effetti hai preso un'accantonata..

Lemma
Si può facilmente dimostrare che $forall x>=0$ si ha $0<=x-log(1+x)<=x^2/2

Quindi esiste $lim_{n to infty} sum_{k=1}^{n-1}(1/k-log(1+1/k))=gamma$ (costante di Eulero-Mascheroni)
e in particolare il tuo prodotto converge