Serie per cui tutti i criteri "standard" falliscono
Le uniche serie di cui sappiamo sostanzialmente tutto sono le serie geometriche e quelle di cui le somme parziali sono esprimibili in forma chiusa (tipo serie telescopiche). De facto i criteri standard che vengono insegnati nei corsi base di Analisi (radice e rapporto) si basano su un confronto della serie in esame con la serie geometrica.
Alcuni testi (su tutti anche il De Marco) sostengono che il criterio di Raabe (caso particolare del criterio di Kummer) sia "molto potente" senza in verità dire perché; mi aspetterei una pletora di serie per le quali radice e rapporto sono inconcludenti mentre Raabe è risolutivo, mentre invece l'unico esempio classico che sono riuscito a trovare è questo: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n} \]che peraltro non so quanto sia interessante perché così a priori ho qualche dubbio che il termine generale sia infinitesimo (la serie infatti è divergente). Ci sono altri esempi, in letteratura o nel folklore, che dimostrino la versatilità del criterio di Raabe?
Un caso "eclatante" è quello della serie \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{\sqrt{n}}}\]per la quale radice e rapporto sono inefficaci, ma il [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_condensation_test#Schl%C3%B6milch's_Generalization]criterio di condensazione di Schlömlich[/url] (da cui deriva quello di Cauchy) con \(u(n)=n^2\) fornisce il risultato sulla convergenza.
Alcuni testi (su tutti anche il De Marco) sostengono che il criterio di Raabe (caso particolare del criterio di Kummer) sia "molto potente" senza in verità dire perché; mi aspetterei una pletora di serie per le quali radice e rapporto sono inconcludenti mentre Raabe è risolutivo, mentre invece l'unico esempio classico che sono riuscito a trovare è questo: \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot 2n} \]che peraltro non so quanto sia interessante perché così a priori ho qualche dubbio che il termine generale sia infinitesimo (la serie infatti è divergente). Ci sono altri esempi, in letteratura o nel folklore, che dimostrino la versatilità del criterio di Raabe?
Un caso "eclatante" è quello della serie \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{\sqrt{n}}}\]per la quale radice e rapporto sono inefficaci, ma il [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_condensation_test#Schl%C3%B6milch's_Generalization]criterio di condensazione di Schlömlich[/url] (da cui deriva quello di Cauchy) con \(u(n)=n^2\) fornisce il risultato sulla convergenza.
Risposte
Io ho sempre pensato al criterio di Raabe come a un criterio da usare quando il termine $n$-esimo urla con tutta la sua forza "USA IL CRITERIO DEL RAPPORTOOOO!!!", e uno lo usava, ma dava $1$, allora per impedire di rimanere fregati si usa quello di Raabe che permette di fare una valutazione più accurata e sostanzialmente è fine quanto il confronto con la serie armonica generalizzata, che come criterio è piuttosto buono.
Se applichi Raabe alla prima serie ottieni $1/2$ vero? In tal caso il termine $n$-esimo dovrebbe essere asintotico a $1/sqrtn$ (cosa compatibile col fatto che la serie diverge), che si dovrebbe poter vedere anche il altri modi usando la formula di Stirling ($a_n=((2n)!)/(4^n*n!^2)$, controlla se vuoi, a me sta fatica), in particolare il termine $n$-esimo È infinitesimo.
Per la seconda serie mi sembra un po' sprecato il criterio di Raabe, basta un semplice confronto con $1/n^2$.
Altri casi in cui può essere utile sono con $a_n=\text{stesso della tua prima serie con in più un n+1 al denominatore}$, un altro è $a_n=(p*(p+1)*…*(p+n-1)/n!), p>0$, oppure altri ancora sono $a_n=b_n*((\alpha),(n))$, dove $\alpha!=0$ e $b_n=1$ oppure $b_n=(-1)^n$.
Se applichi Raabe alla prima serie ottieni $1/2$ vero? In tal caso il termine $n$-esimo dovrebbe essere asintotico a $1/sqrtn$ (cosa compatibile col fatto che la serie diverge), che si dovrebbe poter vedere anche il altri modi usando la formula di Stirling ($a_n=((2n)!)/(4^n*n!^2)$, controlla se vuoi, a me sta fatica), in particolare il termine $n$-esimo È infinitesimo.
Per la seconda serie mi sembra un po' sprecato il criterio di Raabe, basta un semplice confronto con $1/n^2$.
Altri casi in cui può essere utile sono con $a_n=\text{stesso della tua prima serie con in più un n+1 al denominatore}$, un altro è $a_n=(p*(p+1)*…*(p+n-1)/n!), p>0$, oppure altri ancora sono $a_n=b_n*((\alpha),(n))$, dove $\alpha!=0$ e $b_n=1$ oppure $b_n=(-1)^n$.
Quindi cerchi un esempio che metta Raabe alle corde?
Io avevo capito che Delirium stesse cercando esempi significativi di serie in cui gli ALTRI criteri fallissero, mentre quello di Raabe funziona, ma in ogni caso se uno cerca delle serie che mettano in crisi pure Raabe dovrebbe andare bene questa famiglia di serie: $\sum_{n=2}^(+\infty) 1/(nln^(\alpha)n)$.
"gugo82":
Quindi cerchi un esempio che metta Raabe alle corde?
Mi piacerebbe vedere un esempio "scolastico" in cui Raabe/Kummer funzionino dove radice, rapporto (e magari confronto asintotico) falliscono. Quelli di otta sono de facto degli esempi validi (mi aspettavo cose coi fattoriali in effetti).
"gugo82":
Kummer non può fallire.
Se n'era parlato qui anni fa.
Fico. Non ho mai usato Kummer; immagino che il problema "operativo" stia poi nel trovare le \(t_n\).
Molto interessante quella discussione, il mio esercitatore di analisi 1 una volta ci aveva detto che nessun criterio (escluso quello di Cauchy) di convergenza fosse infallibile, quindi o non sapeva questa cosa o lui intendeva non a termini positivi.
Però comunque in questo criterio immagino sia difficile da applicare, perché bisogna inventarsi qualcosa dal nulla, cioè la successione $t_n$, che la rende una cosa che male si presta ad essere resa meccanica/algoritmica, ci si potrebbe anche chiedere se si possa veramente considerare un "criterio".
Però comunque in questo criterio immagino sia difficile da applicare, perché bisogna inventarsi qualcosa dal nulla, cioè la successione $t_n$, che la rende una cosa che male si presta ad essere resa meccanica/algoritmica, ci si potrebbe anche chiedere se si possa veramente considerare un "criterio".
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