Serie particolare $ 1/(n!) $
Abbiamo fatto questa serie a lezione, ma me la sono persa: $ 1/(n!) $ sembra che tenda ad e. Ha un nome particolare? come si arriva a vedere che tende ad e?
Risposte
È una serie a termini non negativi.
La successione delle ridotte è limitata superiormente.
[tex]n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n \ge 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2 = 2^{n-1}[/tex]
e perciò [tex]\frac{1}{n!} \le \frac{1}{2^{n-1}}[/tex]
Fai somme fino a k dei due membri e a primo membro ti ritrovi la successione delle ridotte e a secondo membro la serie geometrica di ragione 1/2.
Quindi la serie iniziale è limitata superiormente e puoi dire che la serie data è convergente.
Per vedere a cosa converge aspetta il parere di un utente più esperto
La successione delle ridotte è limitata superiormente.
[tex]n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot n \ge 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot ... \cdot 2 = 2^{n-1}[/tex]
e perciò [tex]\frac{1}{n!} \le \frac{1}{2^{n-1}}[/tex]
Fai somme fino a k dei due membri e a primo membro ti ritrovi la successione delle ridotte e a secondo membro la serie geometrica di ragione 1/2.
Quindi la serie iniziale è limitata superiormente e puoi dire che la serie data è convergente.
Per vedere a cosa converge aspetta il parere di un utente più esperto
Se conosci gli sviluppi in serie di potenze per funzioni analitiche, ottieni subito ciò che cerchi: l'esponenziale è una funzione analitica su tutto $RR$ e risulta essere la somma della serie [tex]\displaystyle \sum^{+\infty}_{n=0} \frac{x^{n}}{n!}=e^x[/tex] (da cui la tua serie numerica ponendo [tex]x=1[/tex]).
Per la convergenza, se non mi sbaglio, si vede tutto comodamente anche con il criterio del rapporto (se non mi sbaglio).
Per la convergenza, se non mi sbaglio, si vede tutto comodamente anche con il criterio del rapporto (se non mi sbaglio).
@Drugotulo90: La dimostrazione della convergenza di [tex]\sum \frac{1}{n!}[/tex] si fa per confronto (come detto da cristian_c).
Poi, per quanto riguarda la somma, alcuni autori pongono per definizione [tex]e:=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}[/tex] e quindi dimostrano che [tex]\lim_n (1+\tfrac{1}{n})^n =e[/tex]; altri prendono per definizione [tex]e:=\lim_n (1+\tfrac{1}{n})^n[/tex] (mostrando, ovviamente, prima di tutto che quel limite esiste finito) e successivamente dimostrano che [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} =e[/tex].
Non sappiamo il tuo docente quale impostazione abbia usato, ma credo tu possa trovare tutto sul tuo libro di testo.
Poi, per quanto riguarda la somma, alcuni autori pongono per definizione [tex]e:=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}[/tex] e quindi dimostrano che [tex]\lim_n (1+\tfrac{1}{n})^n =e[/tex]; altri prendono per definizione [tex]e:=\lim_n (1+\tfrac{1}{n})^n[/tex] (mostrando, ovviamente, prima di tutto che quel limite esiste finito) e successivamente dimostrano che [tex]\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} =e[/tex].
Non sappiamo il tuo docente quale impostazione abbia usato, ma credo tu possa trovare tutto sul tuo libro di testo.
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