Serie parametriche
ciao a tutti, facendo esercizi, mi sono imbattuto in alcune serie che dopo un paio di passaggi mi blocco..
esempio:
$\sum_{n=1}^(+oo) ((2*5^n)/((cos(nt)+2))^n)$
allora a primo impatto direi che il due al numeratore non mi influenza il carattere della serie, e poi scelgo come criterio, il criterio della radice..
prima però ho pensato ad un confronto asintotico (sul quale sono sicuro al 90% di aver sbagliato) cioè:
$cos(nt)$ $\sim$ $(-t)$ (avevo pensato anche che potesse essere $cos(nt)$ $\sim$ $(-t)^n$)
così facendo la serie da studiare mi diventa:
$\sum_{n=1}^(+oo) ((5^n)/(((-t)+2))^n)$
e con il criterio della radice poi mi trovere a dover discutere di:
$|(5)/(t+2)|<1$
so che ho sbagliato, ma non capisco come poter correggermi..
esempio:
$\sum_{n=1}^(+oo) ((2*5^n)/((cos(nt)+2))^n)$
allora a primo impatto direi che il due al numeratore non mi influenza il carattere della serie, e poi scelgo come criterio, il criterio della radice..
prima però ho pensato ad un confronto asintotico (sul quale sono sicuro al 90% di aver sbagliato) cioè:
$cos(nt)$ $\sim$ $(-t)$ (avevo pensato anche che potesse essere $cos(nt)$ $\sim$ $(-t)^n$)
così facendo la serie da studiare mi diventa:
$\sum_{n=1}^(+oo) ((5^n)/(((-t)+2))^n)$
e con il criterio della radice poi mi trovere a dover discutere di:
$|(5)/(t+2)|<1$
so che ho sbagliato, ma non capisco come poter correggermi..
Risposte
Secondo me ti converrebbe cominciare a vedere per quali valori del parametro la serie è definita.
Poi potrebbe esserti utile tenere presente che il coseno è una funzione limitata tra $-1$ e $1$; lascia perdere i confronti asintotici, soprattutto se non li maneggi ancora bene.
Poi potrebbe esserti utile tenere presente che il coseno è una funzione limitata tra $-1$ e $1$; lascia perdere i confronti asintotici, soprattutto se non li maneggi ancora bene.
grazie del suggerimento.. ci ragiono un po' e ti faccio sapere 
c ho pensato e l unica soluzione a cui sono arrivato è che
$cos(nt)<=1$
cioè:
$\sum_{k=1}^(+oo) (5/(cos(nt)+2))^n$ > $\sum_{k=1}^(+oo) (5/(3))^n$
quella è una serie geometrica di ragione $5/3$ che è maggiore di uno quindi la mia serie diverge positivamente.. tuttavia, come faccio a discutere al variare dei parametri? perchè di fatto non l ho fatto
$cos(nt)<=1$
cioè:
$\sum_{k=1}^(+oo) (5/(cos(nt)+2))^n$ > $\sum_{k=1}^(+oo) (5/(3))^n$
quella è una serie geometrica di ragione $5/3$ che è maggiore di uno quindi la mia serie diverge positivamente.. tuttavia, come faccio a discutere al variare dei parametri? perchè di fatto non l ho fatto
Vorrei farti notare che la funzione coseno è sempre minore di 1! Quindi... ?
dici di partire dal risolvere la disequazione $cos(nt)<=1$ per iniziare a determinarmi i valori per i quali poi studiare la serie?
Nooooooooo..... senti un po', che valori assume il coseno di un angolo? Sta tutto nella definizione del coseno e nel ragionamento che hai già fatto la soluzione dell'esercizio!
mmm ci sto provando, ma non capisco.. forse sono duro di testa io (e mi scuso)..
allora in generale $-1<= cos(nt) <= 1$ giusto?
però se io ho maggiorato la mia serie direttamente dando come valore 1 come faccio a discuterla?
allora in generale $-1<= cos(nt) <= 1$ giusto?
però se io ho maggiorato la mia serie direttamente dando come valore 1 come faccio a discuterla?
Visto che hai quella disuguaglianza, questo significa che
$1\le \cos(n t)+2\le 3$ e quindi che per il termine ennesimo della serie puoi scrivere
$(\frac{5}{\cos(n t)+2})^n\ge (5/2)^n$ e quindi la serie diverge per ogni $t$.
$1\le \cos(n t)+2\le 3$ e quindi che per il termine ennesimo della serie puoi scrivere
$(\frac{5}{\cos(n t)+2})^n\ge (5/2)^n$ e quindi la serie diverge per ogni $t$.
"djyoyo":
$\sum_{n=1}^(+oo) 2*(5/(cos(nt)*2))^n$
"djyoyo":
$\sum_{k=1}^(+oo) 2*(5/(cos(nt)+2))^n$
Potremmo, di grazia, qual è il testo corretto dell'esercizio?
Consiglio vivamente di dare uno sguardo qui.
scusa mod ho corretto nel primo post 
farò più attenzione
farò più attenzione
"ciampax":
Visto che hai quella disuguaglianza, questo significa che
$1\le \cos(n t)+2\le 3$ e quindi che per il termine ennesimo della serie puoi scrivere
$(\frac{5}{\cos(n t)+2})^n\ge (5/2)^n$ e quindi la serie diverge per ogni $t$.
grazie
"djyoyo":
scusa mod ho corretto nel primo post
farò più attenzione
Grazie a te per la collaborazione.
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