Serie parametrica e limite di nepero
Ok abbiamo questa serie parametrica:
$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n-1}{n+1})^{n^{2}}a^{n}\foralla\in\R$
dunque analizzando la condizione necessaria per la convergenza ottengo che se a <-1 la serie è alternata e converge per il criterio di Leibnitz.
Poi si ottiene che per gli altri a la condizione necessaria è soddisfatta sempre.
la serie ottenuta la riduco a $\frac{a^n}{e^{\frac{n^2+n^3}{2}}}$
utilizzando i risultati noti sui limiti notevoli del numero e.
Ora questa serie qui mi rimane ostica non riesco a capire che criterio usare e dove andare a parare.
Ammesso e non concesso che il passaggio al limite notevole di nepero del primo fattore sia corretto.
$\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{n-1}{n+1})^{n^{2}}a^{n}\foralla\in\R$
dunque analizzando la condizione necessaria per la convergenza ottengo che se a <-1 la serie è alternata e converge per il criterio di Leibnitz.
Poi si ottiene che per gli altri a la condizione necessaria è soddisfatta sempre.
la serie ottenuta la riduco a $\frac{a^n}{e^{\frac{n^2+n^3}{2}}}$
utilizzando i risultati noti sui limiti notevoli del numero e.
Ora questa serie qui mi rimane ostica non riesco a capire che criterio usare e dove andare a parare.
Ammesso e non concesso che il passaggio al limite notevole di nepero del primo fattore sia corretto.
Risposte
Non ho capito bene come hai verificato che le condizioni del criterio di Leibnitz fossero soddisfatte per $a<-1$ e comunque non so se sia giusto o meno quel limite notevole, ma senza sviluppi di Taylor e senza passare alle forme esponenziali qua la vedo molto dura.
Io inizierei a scrivere il termine generale come $e^(n^2 ln(1-2/(n+1))+ln(a)n)$ e considerare per il momento $a>0$, la convergenza per gli $a$ negativi si può studiare in modulo ed andare a esaminare il caso limite sostituendo. Se non ho sbagliato i conti dovrebbe essere per $a=pm e^2$ che bisogna controllare cosa succede.
Io inizierei a scrivere il termine generale come $e^(n^2 ln(1-2/(n+1))+ln(a)n)$ e considerare per il momento $a>0$, la convergenza per gli $a$ negativi si può studiare in modulo ed andare a esaminare il caso limite sostituendo. Se non ho sbagliato i conti dovrebbe essere per $a=pm e^2$ che bisogna controllare cosa succede.
Mh forse hai ragione ci darò un occhiata...
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