Serie parametrica
ciao ragazzi,
siamo ancora qui alle prese con calcolo.
C'è questa serie parametrica:
$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt(n)}sin(\frac{1}{n^a})$
da studiare per a > 0.
allora cercando di identificare se la serie è a termini positivi,
guardando quella funzione seno li non saprei dire se è alternata o no...
Semplice sarebbe prendere mathematica e fare il grafico per un generico a positivo ma non lo possiamo fare all'esama
Ammettendo (e mi pare l'ipotesi piu ragionevole) che la serie sia a termini positivi,
ho provato a con il criterio del rapporto e vieni fuori un limite immondo...
Per non parlare della radice n-esima...
non li sto a copiare, ma sono convinto che ci sia un'altra strada piu ragionevole e rapida....
Spero in una risposta come atto di fratellanza!!
Perchè mi pare di vedere leggendo un giro su questo forum che molta gente entra qui e chiede spiegazione come fosse tutto "dovuto"
beh sappiate che non è il mio caso!
siamo ancora qui alle prese con calcolo.
C'è questa serie parametrica:
$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt(n)}sin(\frac{1}{n^a})$
da studiare per a > 0.
allora cercando di identificare se la serie è a termini positivi,
guardando quella funzione seno li non saprei dire se è alternata o no...
Semplice sarebbe prendere mathematica e fare il grafico per un generico a positivo ma non lo possiamo fare all'esama
Ammettendo (e mi pare l'ipotesi piu ragionevole) che la serie sia a termini positivi,
ho provato a con il criterio del rapporto e vieni fuori un limite immondo...
Per non parlare della radice n-esima...
non li sto a copiare, ma sono convinto che ci sia un'altra strada piu ragionevole e rapida....
Spero in una risposta come atto di fratellanza!!
Perchè mi pare di vedere leggendo un giro su questo forum che molta gente entra qui e chiede spiegazione come fosse tutto "dovuto"
beh sappiate che non è il mio caso!
Risposte
Se $a > 0$ , $0 < 1/n^a < 1$; ciò significa che è una serie a termini positivi. Inoltre $sin(1/n^a) sim 1/n^a$ per $n -> +oo$, quindi...
Quando $n=1 $ ottieni che $sin(1/n^a) =sin 1$ , naturalmente $1$ è un radiante che vale circa , molto circa $57 ° $ e il suo seno è positivo.
Quando poi $n $ cresce( essendo $a>0$ )l'argomento del seno tende a $0 $ e il seno tende a $0 $ ; hai sempre il valore del seno positivo.
E' una serie quindi a termini positivi.
Adesso io consiglio il confronto asintotico, cioè a dire la serie indicata ha un comportamento per $ n rarr +oo $ che approssima quale serie ?
Per $n rarr +oo , sin (1/n^a) $ è asintotico a $ 1/n^a $ , quindi il termine della serie è asintotico a $1/(n^(a+1/2) $ .
A te la conclusione .....
Quando poi $n $ cresce( essendo $a>0$ )l'argomento del seno tende a $0 $ e il seno tende a $0 $ ; hai sempre il valore del seno positivo.
E' una serie quindi a termini positivi.
Adesso io consiglio il confronto asintotico, cioè a dire la serie indicata ha un comportamento per $ n rarr +oo $ che approssima quale serie ?
Per $n rarr +oo , sin (1/n^a) $ è asintotico a $ 1/n^a $ , quindi il termine della serie è asintotico a $1/(n^(a+1/2) $ .
A te la conclusione .....
Ciao grazie delle risposte.
Allora non riesco a capire come fate a identificare con cosa bisogna fare il confronto.
e poi, in questo caso ad esempio, l'esercizio proseguirebbe con questo limite (chiamando la nostra serie an) $\lim_n->\infty a_n*n^(a+1/2)$ giusto???
Per il criterio del confronto asintotico...(?)
Allora non riesco a capire come fate a identificare con cosa bisogna fare il confronto.
e poi, in questo caso ad esempio, l'esercizio proseguirebbe con questo limite (chiamando la nostra serie an) $\lim_n->\infty a_n*n^(a+1/2)$ giusto???
Per il criterio del confronto asintotico...(?)
Aspetta... Il criterio del confronto asintotico ti consente di ricondurre il problema ad una serie che è più semplice $sum 1/n^(1/2 + a)$.
Ma il comportamento di $sum 1/n^alpha$ , $alpha > 0$ , è ben noto!
Ma il comportamento di $sum 1/n^alpha$ , $alpha > 0$ , è ben noto!
si ma perchè $\frac{1}{n^(1/2+a)}?
Perché $sin( 1 /n^a)$ è asintotico ad $1/n^a$ per $n -> +oo$. Ciò significa che $1/sqrt(n) * sin( 1/n^a ) sim 1/sqrt(n) * 1/n^a$ e per le proprietà delle potenze ottieni $1/n^(1/2 + a)$. Cosa non ti torna?
Adesso ho capito il discorso, ma per concludere non bisogna fare il limite della successione iniziale diviso quella con cui vogliamo fare il confronto e valutare il risultato ottenuto?
"Basf":
Adesso ho capito il discorso, ma per concludere non bisogna fare il limite della successione iniziale diviso quella con cui vogliamo fare il confronto e valutare il risultato ottenuto?
Puoi spiegarti meglio?
Ok,
allora il criterio del confronto asintotico io lo conosco così:
Abbiamo ${a_n} {b_n}$ entrambe positive.
si valuta questo limite:
$\lim_n\rightarrow\infty \frac{a_n}{b_n}$
e abbiamo che:
considera le sommatorie davanti ad an e bn altrimenti mi ci vuole un secolo se le scrivo tutte ^_^
se $0
la serie an e la serie bn hanno lo stesso carattere.
se l=0 e an diverge allora bn diverge (se bn converge , allora an converge)
se l = +infinito e bn diverge allora an diverge.
allora il criterio del confronto asintotico io lo conosco così:
Abbiamo ${a_n} {b_n}$ entrambe positive.
si valuta questo limite:
$\lim_n\rightarrow\infty \frac{a_n}{b_n}$
e abbiamo che:
considera le sommatorie davanti ad an e bn altrimenti mi ci vuole un secolo se le scrivo tutte ^_^
se $0
la serie an e la serie bn hanno lo stesso carattere.
se l=0 e an diverge allora bn diverge (se bn converge , allora an converge)
se l = +infinito e bn diverge allora an diverge.
Certo, è stato utilizzato questo criterio sfruttando il fatto che il termine generale della serie che hai proposto è asintotico a $1/sqrt(n) * 1/n^a$. Cioè abbiamo stabilito che $lim_(n -> +oo) (1/n^(a + 1/2)) * n^(1/2)/sin(1/n^a) = 1$ .
Ecco il motivo per il quale possiamo studiare la serie $sum 1/n^(a + 1/2)$ in luogo della serie di partenza.
Ecco il motivo per il quale possiamo studiare la serie $sum 1/n^(a + 1/2)$ in luogo della serie di partenza.
Eccoci ora ci siamo!
Quel limite non è banale però.....oppure non lo vedo io...?
Quel limite non è banale però.....oppure non lo vedo io...?
"Basf":
Eccoci ora ci siamo!
Quel limite non è banale però.....oppure non lo vedo io...?
E' molto semplice invece. Ma noi sappiamo già che le cose vanno così perché abbiamo fatto delle approssimazioni asintotiche sul termine generale.
Mh... sto facendo confusione... è quel limite che ci fa confrontare le due serie, se non si fa quello non si arriva a concludere che il nostro confronto è giusto.
Puoi spiegarti meglio grazie???
Puoi spiegarti meglio grazie???
Sei convinto che $1/n^a sim sin(1/n^a)$ ? Mi sembra del tutto ovvio.
Allora ovviamente anche $1/sqrt(n) * 1/n^a sim 1/sqrt(n) * sin(1/n^a)$. E questo ti permette di concludere che le serie $sum 1/sqrt(n) * 1/n^a$ e $sum 1/sqrt(n) * sin(1/n^a)$ hanno lo stesso comportamento perché i termini generali hanno lo stesso ordine di infinitesimo.
Allora ovviamente anche $1/sqrt(n) * 1/n^a sim 1/sqrt(n) * sin(1/n^a)$. E questo ti permette di concludere che le serie $sum 1/sqrt(n) * 1/n^a$ e $sum 1/sqrt(n) * sin(1/n^a)$ hanno lo stesso comportamento perché i termini generali hanno lo stesso ordine di infinitesimo.
ho capito perfetto grazie!!!
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