Serie parametrica
Salve avrei bisogno di un chiarimento sullo studio della convergenza/divergenza una serie
$ sum_n(sin(1/sqrtn + a/n) - ln(1+ 1/sqrtn)) $
per n che va da 1 a infinito e dove a è un parametro reale.
Io la ho svolta con gli sviluppi di ordine superiore al primo in quanto ho notato che al primo ordine lo sviluppo del seno porta a far inglobare la costante a dall'opiccolo. Ho svolto in questo modo.
$ a_n ~ 1/sqrtn + a/n - (1/sqrtn + a/n)^3*1/(3!)+o(1/n^2)-(1/sqrtn - 1/(2n) + 1/(3sqrt(n^3)) - 1/(4n^2)) + o(1/(n^2)) = $
$ =(2a+1)/(2n) - 1/(2sqrt(n^3))+(4a+3)/(12n^2)+o(1/n^2) $
Ora le mie domande sono 3:
1) ho ragione nel dire che non posso sviluppare al primo ordine?
2) sono giusti i calcoli?
3) ora non so che fare, l'unica cosa che mi viene in mente è che la serie di una somma è la somma di serie per cui l'unica che diverge è la prima quindi l'unico valore di a per cui non converge è quello che annulla $ (2a+1)/(2n $ quindi $ a!=-1/2 $
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano
$ sum_n(sin(1/sqrtn + a/n) - ln(1+ 1/sqrtn)) $
per n che va da 1 a infinito e dove a è un parametro reale.
Io la ho svolta con gli sviluppi di ordine superiore al primo in quanto ho notato che al primo ordine lo sviluppo del seno porta a far inglobare la costante a dall'opiccolo. Ho svolto in questo modo.
$ a_n ~ 1/sqrtn + a/n - (1/sqrtn + a/n)^3*1/(3!)+o(1/n^2)-(1/sqrtn - 1/(2n) + 1/(3sqrt(n^3)) - 1/(4n^2)) + o(1/(n^2)) = $
$ =(2a+1)/(2n) - 1/(2sqrt(n^3))+(4a+3)/(12n^2)+o(1/n^2) $
Ora le mie domande sono 3:
1) ho ragione nel dire che non posso sviluppare al primo ordine?
2) sono giusti i calcoli?
3) ora non so che fare, l'unica cosa che mi viene in mente è che la serie di una somma è la somma di serie per cui l'unica che diverge è la prima quindi l'unico valore di a per cui non converge è quello che annulla $ (2a+1)/(2n $ quindi $ a!=-1/2 $
Grazie in anticipo a chi mi darà una mano
Risposte
Up pls
in realtà questa serie chiama a gran voce il criterio asintotico. Considera che $x->+infty => sin(1/x) ~ 1/x$ e $ln(1 + 1/x) ~ 1/x$, dopodichè tira tu le somme. Ad occhio direi che per $a!=0$ la serie è asintotica alla serie armonica e quindi diverge.
[ot]Avrei poi un piccolo dubbio che mi è sorto ora: da risultati notissimi so che $f(x) = o(g(x)) text( in un intorno di ) x_0 <=> lim_(x-> x_0) |(f(x))/(g(x))| = 0$. In questo esempio ho $x_0 = +infty$ (perdonatemi l'abuso di notazione) e pertanto $(1/sqrt(x))/(1/x) = x/sqrt(x) = 1/sqrt(x) ->_(x->+infty) 0$ (non ho messo i valori assoluti in quanto posso assumere $x>0$ e quindi tutti i termini sono positivi), da cui $1/(sqrt(x)) = o(1/x)$. Solo che mi sembra molto antintuitivo... Mi correggete se sbaglio?[/ot]
[ot]Avrei poi un piccolo dubbio che mi è sorto ora: da risultati notissimi so che $f(x) = o(g(x)) text( in un intorno di ) x_0 <=> lim_(x-> x_0) |(f(x))/(g(x))| = 0$. In questo esempio ho $x_0 = +infty$ (perdonatemi l'abuso di notazione) e pertanto $(1/sqrt(x))/(1/x) = x/sqrt(x) = 1/sqrt(x) ->_(x->+infty) 0$ (non ho messo i valori assoluti in quanto posso assumere $x>0$ e quindi tutti i termini sono positivi), da cui $1/(sqrt(x)) = o(1/x)$. Solo che mi sembra molto antintuitivo... Mi correggete se sbaglio?[/ot]
Mi dispiace ma non ti posso aiutare ho anche io i tuoi stessi dubbi su questi argomenti, comunque non capisco perché dici di non poter sviluppare al primo grado.
$ sinz=z+o(z) \ \ \ \ log(1+z)=z-z^2/2+o(z^2) $
$ sin(sqrtx+ax)=sqrtx+ax+o(x) \ \ \ \ \ log(1+sqrtx)=sqrtx-x/2+o(x) $
Quindi: $ sin(sqrtx+ax)-log(1+sqrtx)=ax+x/2+o(x) \ \ \ per\ xrarr0 $
Ciò implica che $ sin(1/sqrtn+a/n)-log(1+1/sqrtn)~ 1/n(a+1/2) \ \ \ per\ nrarroo $
EDIT: E' sbagliato non fateci affidamento.
Però il criterio del confronto asintotico si può usare solo per serie a termini non negativi altrimenti prima bisogna usare il criterio di convergenza assoluta quindi direi che quello che ho scritto va bene quando il termine della serie è definitivamente positivo, c'è da fare uno studio di funzione abbastanza complicato.
Il criterio del confronto asintotico si può usare quando c'è un prodotto di successioni cioè se $ f(n)~ g(n) $ allora $ f(n)h(n)~ g(n)h(n) $ ma nulla si può dire su $ f(n) +h(n) $ .
$ sinz=z+o(z) \ \ \ \ log(1+z)=z-z^2/2+o(z^2) $
$ sin(sqrtx+ax)=sqrtx+ax+o(x) \ \ \ \ \ log(1+sqrtx)=sqrtx-x/2+o(x) $
Quindi: $ sin(sqrtx+ax)-log(1+sqrtx)=ax+x/2+o(x) \ \ \ per\ xrarr0 $
Ciò implica che $ sin(1/sqrtn+a/n)-log(1+1/sqrtn)~ 1/n(a+1/2) \ \ \ per\ nrarroo $
EDIT: E' sbagliato non fateci affidamento.
Però il criterio del confronto asintotico si può usare solo per serie a termini non negativi altrimenti prima bisogna usare il criterio di convergenza assoluta quindi direi che quello che ho scritto va bene quando il termine della serie è definitivamente positivo, c'è da fare uno studio di funzione abbastanza complicato.
Il criterio del confronto asintotico si può usare quando c'è un prodotto di successioni cioè se $ f(n)~ g(n) $ allora $ f(n)h(n)~ g(n)h(n) $ ma nulla si può dire su $ f(n) +h(n) $ .
dicevo che non si poteva sviluppare per l'o piccolo in quanto
$ f(n) =o(1/sqrtn + a/n) $
$ f(n)/(1/sqrtn+a/n)=0 $
$ (f(n)*nsqrtn)/(n+asqrtn) $
per n che tende ad infinito significa che
se chiamiamo il grado di f come h
$ h + 1 +1/2 > 1 $
$ h > -1/2 $
$ rArr f(n) = o(1/sqrtn) $
che ingloba 1/n
o almeno così la avevo interpretata la concezione di o piccolo
$ f(n) =o(1/sqrtn + a/n) $
$ f(n)/(1/sqrtn+a/n)=0 $
$ (f(n)*nsqrtn)/(n+asqrtn) $
per n che tende ad infinito significa che
se chiamiamo il grado di f come h
$ h + 1 +1/2 > 1 $
$ h > -1/2 $
$ rArr f(n) = o(1/sqrtn) $
che ingloba 1/n
o almeno così la avevo interpretata la concezione di o piccolo
Si hai ragione ho sbagliato a porre o(x^1/2+ax)=o(x) e sviluppare al primo grado non serve a niente, grazie per avermelo fatto notare. Facevo affidamento sul fatto che o(x^n)=o(x^n+x^(n-k)) ma non vale il contrario.
"poll89":
Avrei poi un piccolo dubbio che mi è sorto ora: da risultati notissimi so che $f(x) = o(g(x)) text( in un intorno di ) x_0 <=> lim_(x-> x_0) |(f(x))/(g(x))| = 0$. In questo esempio ho $x_0 = +infty$ (perdonatemi l'abuso di notazione) e pertanto $(1/sqrt(x))/(1/x) = x/sqrt(x) = 1/sqrt(x) ->_(x->+infty) 0$ (non ho messo i valori assoluti in quanto posso assumere $x>0$ e quindi tutti i termini sono positivi), da cui $1/(sqrt(x)) = o(1/x)$. Solo che mi sembra molto antintuitivo... Mi correggete se sbaglio?
Quella è la *definizione* di o-piccolo, non un "risultato notissimo". In ogni modo, sbagli i conti, ricontrolla il calcolo del limite $\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\frac{1}{x}}$.
"dissonance":
Quella è la *definizione* di o-piccolo, non un "risultato notissimo".
vabbè, ho scritto così perchè nel tutorial sui simboli di Landau del forum quella non è la definizione ma un lemma su o piccolo. In realtà, se $g(x)!=0$ in un intorno appropriato di $x_0$, chiaramente è equivalente alla definizione ed anzi la si usa come tale quasi sempre (da cui il "notissimi"), però quando so che dissonance è in agguato divento pedante
.Comunque non riesco a vedere l'errore di cui parli: a parte che anche wolfram mi conferma che quel limite valga 0, non vedo errori nei miei passaggi algebrici.
$x/\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ è sbagliato.
giusto, viene $sqrt(x)$, da cui la risoluzione a tutti i miei dubbi. Bene, grazie ed alla prossima
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