[Serie numeriche]Dubbi sulla correttezza!

[karhel]

salve gente volevo proporvi degli esercizi
io li ho risolti ma vorrei la conferma sulla correttezza visto l'avvicinarsi dell'esame.

gli esercizi sono i seguenti:

1)

$\sum_{n=1}^infty {3^n+(n-1)!}/{3^n+n(n)!}$

poiché n!=(n-1)n! posso scrivere:

Svolgimento

$\sum_{n=1}^infty {3^n+(n-1)!}/{3^n+n^2(n-1)!}$

se ne calcolo il limite a infinito ottengo:

$\lim_{n=infty}^infty {3^n+(n-1)!}/{3^n+n^2(n-1)!}={(n-1)![3^n/((n-1)!) +1]}/{(n-1)![3^n/((n-1)!)+n^2]}$

effettuando le semplificazioni vedo che:

$\lim_{n=infty}^infty {(n-1)![3^n/((n-1)!) +1]}/{(n-1)![3^n/((n-1)!)+n^2]}=1/n^2$

ora visto che la serie è riconducibile ad una serie di tipo $\sum_{n=1}^infty 1/n^p$ con p>1 allora la serie converge!!!

(premetto che io stesso non sono molto convinto di questo ragionamento)


2)

$\sum_{n=1}^infty ((n-1)!)^2/((2n)!)$

Svolgimento

$\lim_{n=infty} ((n-1+1)!)^2/((2n+2)!) * ((2n)!)/((n-1)!)^2=(n!)^2/((2n+2)(2n+1)(2n)!)*((2n)!)/((n-1)!)^2$

semplifico e ottengo

$\lim_{n=infty} (n!)^2/((2n+2)(2n+1)(2n)!)*((2n)!)/((n-1)!)^2={((n-1)!)^2n^2}/{((n-1)!)^2(4n^2+6n+1)}$

semplificando ancora ottengo:

$\lim_{n=infty} {((n-1)!)^2n^2}/{((n-1)!)^2(4n^2+6n+1)}=n^2/(4n^2+6n+1)=1/4$

Essendo 1/4 < 1 la serie converge!!!


3)

$\sum_{n=1}^infty (-1)^n (sqrt(n+1)-sqrt(n))$

Svolgimento

essendo una serie a segni alterni verifico le condizioni di Leibnitz

An>0 si
lim An -> 0

si perchè

$\lim_{n=infty} (sqrt(n+1)-sqrt(n))=(sqrt(n+1)-sqrt(n)) * ((sqrt(n+1)+sqrt(n)))/(sqrt(n+1)+sqrt(n))$
$\lim_{n=infty} 1/(sqrt(n+1)+sqrt(n))=0$

An+1 < An per ogni n>0

si perché se io prendo n=2
sqrt(3)-sqrt(2)=0.31

con n=1
sqrt(2)-sqrt(1)=0.41

quindi 0.31<0.41

detto questo vale leibnitz e quindi la serie è semi convergente!!!

la domanda però è: ma se io volessi stabilirne la convergenza assoluta come dovrei fare???

[salvozungri]

"karhel":salve gente volevo proporvi degli esercizi
io li ho risolti ma vorrei la conferma sulla correttezza visto l'avvicinarsi dell'esame.

gli esercizi sono i seguenti:

1)

$\sum_{n=1}^infty {3^n+(n-1)!}/{3^n+n(n)!}$

poiché n!=(n-1)n! posso scrivere:

Svolgimento

$\sum_{n=1}^infty {3^n+(n-1)!}/{3^n+n^2(n-1)!}$

se ne calcolo il limite a infinito ottengo:

$\lim_{n=infty}^infty {3^n+(n-1)!}/{3^n+n^2(n-1)!}={(n-1)![3^n/((n-1)!) +1]}/{(n-1)![3^n/((n-1)!)+n^2]}$

effettuando le semplificazioni vedo che:

$\lim_{n=infty}^infty {(n-1)![3^n/((n-1)!) +1]}/{(n-1)![3^n/((n-1)!)+n^2]}=1/n^2 (*)$

ora visto che la serie è riconducibile ad una serie di tipo $\sum_{n=1}^infty 1/n^p$ con p>1 allora la serie converge!!!

(premetto che io stesso non sono molto convinto di questo ragionamento)
[...]

(*) Qui ho capito cosa intendi ma è scritto male. il limite è zero (scritto in quel modo dà l'impressione che il limite faccia $1/n^2$).
Niente paura, puoi affermare che $a_n={3^n+(n-1)!}/{3^n+n(n)!}$ si comporta asintoticamente come $1/n^2$ e poi continui come hai fatto!

[salvozungri]

"karhel":

2)

$\sum_{n=1}^infty ((n-1)!)^2/((2n)!)$

Svolgimento

$\lim_{n=infty} ((n-1+1)!)^2/((2n+2)!) * ((2n)!)/((n-1)!)^2=(n!)^2/((2n+2)(2n+1)(2n)!)*((2n)!)/((n-1)!)^2$

semplifico e ottengo

$\lim_{n=infty} (n!)^2/((2n+2)(2n+1)(2n)!)*((2n)!)/((n-1)!)^2={((n-1)!)^2n^2}/{((n-1)!)^2(4n^2+6n+1)}$ (*)

semplificando ancora ottengo:

$\lim_{n=infty} {((n-1)!)^2n^2}/{((n-1)!)^2(4n^2+6n+1)}=n^2/(4n^2+6n+1)=1/4$

Essendo 1/4 < 1 la serie converge!!!

Segnalo un errore nei conti in (*) dovrebbe essere $4n^2+6n+2$ ma non influisce in alcun modo nel risultato finale che comunque è corretto

[salvozungri]

"karhel":
3)

$\sum_{n=1}^infty (-1)^n (sqrt(n+1)-sqrt(n))$

Svolgimento

essendo una serie a segni alterni verifico le condizioni di Leibnitz

An>0 si
lim An -> 0

si perchè

$\lim_{n=infty} (sqrt(n+1)-sqrt(n))=(sqrt(n+1)-sqrt(n)) * ((sqrt(n+1)+sqrt(n)))/(sqrt(n+1)+sqrt(n))$
$\lim_{n=infty} 1/(sqrt(n+1)+sqrt(n))=0$

An+1 < An per ogni n>0 (*)

si perché se io prendo n=2
sqrt(3)-sqrt(2)=0.31

con n=1
sqrt(2)-sqrt(1)=0.41

quindi 0.31<0.41

detto questo vale leibnitz e quindi la serie è semi convergente!!!

la domanda però è: ma se io volessi stabilirne la convergenza assoluta come dovrei fare???

(*) Personalmente trovo che la dimostrazione della decrescenza sia alquanto debole. Non credo che un professore accetterebbe ciò che hai fatto.

Per studiare la convergenza assoluta considera la serie $sum_{n=1}^\infty \sqrt(n)-\sqrt(n-1)$ ed osserva che per $n->\infty$ $\sqrt(n)-\sqrt(n-1)$ si comporta come $1/\sqrt(n)$. Ciò implica che $sum_{n=1}^\infty \sqrt(n)-\sqrt(n-1)$ e $sum_{n=1}^\infty1/\sqrt(n)$ hanno lo stesso carattere, confrontando $sum_{n=1}^\infty1/\sqrt(n)$ con la serie armonica generalizzata abbiamo che...

[dissonance]

@karhel: Cambia titolo per favore, metti qualcosa di più specifico. Ad esempio:

[Serie numeriche]Dubbi sulla correttezza!

va bene.

[karhel]

"Mathematico":

(*) Personalmente trovo che la dimostrazione della decrescenza sia alquanto debole. Non credo che un professore accetterebbe ciò che hai fatto.

Per studiare la convergenza assoluta considera la serie $sum_{n=1}^\infty \sqrt(n)-\sqrt(n-1)$ ed osserva che per $n->\infty$ $\sqrt(n)-\sqrt(n-1)$ si comporta come $1/\sqrt(n)$. Ciò implica che $sum_{n=1}^\infty \sqrt(n)-\sqrt(n-1)$ e $sum_{n=1}^\infty1/\sqrt(n)$ hanno lo stesso carattere, confrontando $sum_{n=1}^\infty1/\sqrt(n)$ con la serie armonica generalizzata abbiamo che...

ok quindi dicendo che si comporta come $\sum_{n=1}^infty 1/sqrt(n)$ essendo una serie del tipo
$\sum_{n=1}^infty 1/n^p$ con p<1 la serie diverge
quindi ha una divergenza assoluta!!!

a questo punto tre domande:

1) i primi 2 punti sono dimostrati correttamente???
2) come posso dimostrare in modo preciso la decrescenza (in leibnitz è il mio punto debole)
3) come faccio a valutare che $sqrt(n+1) - sqrt(n)$ si comporta come $1/sqrt(n)$???
Può essere per la questione del limite che avevo calcolato prima? cioè che $1/(sqrt(n+1) + sqrt(n))$ è come dire $1/sqrt(n)$

[salvozungri]

"karhel":
ok quindi dicendo che si comporta come $\sum_{n=1}^infty 1/sqrt(n)$ essendo una serie del tipo
$\sum_{n=1}^infty 1/n^p$ con p<1 la serie diverge
quindi ha una divergenza assoluta!!!

Esattamente

"karhel":
a questo punto tre domande:

1) i primi 2 punti sono dimostrati correttamente???
2) come posso dimostrare in modo preciso la decrescenza (in leibnitz è il mio punto debole)
3) come faccio a valutare che $sqrt(n+1) - sqrt(n)$ si comporta come $1/sqrt(n)$???
Può essere per la questione del limite che avevo calcolato prima? cioè che $1/(sqrt(n+1) + sqrt(n))$ è come dire $1/sqrt(n)$

1) A parte qualche imprecisione, sì
2) Siano $n_1, n_2\in NN$ tali che $n_1 Ovviamente si ha che $\sqrt(n_1+1)+\sqrt(n_1)< \sqrt(n_2+1)+\sqrt(n_2)$ da cui si ha: $1/(\sqrt(n_2+1)+\sqrt(n_2))<1/(\sqrt(n_1+1)+\sqrt(n_1))$
e quindi $\sqrt(n_2+1)-\sqrt(n_2)< \sqrt(n_1+1)-\sqrt(n_1)$ abbiamo dunque una successione decrescente.

3) Sì, io l'ho capito da $1/(sqrt(n+1) + sqrt(n))$

[karhel]

"Mathematico":[quote="karhel"]
ok quindi dicendo che si comporta come $\sum_{n=1}^infty 1/sqrt(n)$ essendo una serie del tipo
$\sum_{n=1}^infty 1/n^p$ con p<1 la serie diverge
quindi ha una divergenza assoluta!!!

Esattamente

"karhel":
a questo punto tre domande:

1) i primi 2 punti sono dimostrati correttamente???
2) come posso dimostrare in modo preciso la decrescenza (in leibnitz è il mio punto debole)
3) come faccio a valutare che $sqrt(n+1) - sqrt(n)$ si comporta come $1/sqrt(n)$???
Può essere per la questione del limite che avevo calcolato prima? cioè che $1/(sqrt(n+1) + sqrt(n))$ è come dire $1/sqrt(n)$

1) A parte qualche imprecisione, sì
2) Siano $n_1, n_2\in NN$ tali che $n_1 Ovviamente si ha che $\sqrt(n_1+1)+\sqrt(n_1)< \sqrt(n_2+1)+\sqrt(n_2)$ da cui si ha: $1/(\sqrt(n_2+1)+\sqrt(n_2))<1/(\sqrt(n_1+1)+\sqrt(n_1))$
e quindi $\sqrt(n_2+1)-\sqrt(n_2)< \sqrt(n_1+1)-\sqrt(n_1)$ abbiamo dunque una successione decrescente.

3) Sì, io l'ho capito da $1/(sqrt(n+1) + sqrt(n))$[/quote]



oooooook capito mille grazie per l'aiuto