Serie numeriche in valore assoluto
Come si risolvono le serie in valore assoluto, tanto richieste prima di applicare il ben più facile criterio di Leibniz?
è proprio necessario verificare prima il valore assoluto?
è proprio necessario verificare prima il valore assoluto?
Risposte
Le serie a termini qualsiasi sono quelle serie il cui termine generale non mantiene segno costante. Ad esempio
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin n}{n^4+1},\quad\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{ n^2+1}{n!},\quad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n},
\end{align*}
sono serie di segno variabile, in particolare la seconda e la terza sono a segno alterno in quanto i suoi addendi si alternano uno positivo, uno negativo,.... .
Per lo studio di tali serie esistono fondamentalmente due criteri: quello della convergenza assoluta , che può essere invocato in presenza di una qualsivoglia serie di segno variabile, e il criterio di Leibnitz, applicabile esclusivamente alle serie di segno alterno.
Il criterio della convergenza assoluta
Sia $ \sum a_n$ una serie a termini variabili; se la serie $ \sum |a_n|$ converge, allora pure la serie $ \sum a_n$ converge.
Dimostrazione
Ad esempio, consideriamo la serie
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin n}{n^4+1},
\end{align*}
non ha segno costante, in quanto la il seno altera il segno del termine generale; considerando allora il valore assoluto del termine generale: avendo ora una seire a termini positivi, possiamo applicare uno di criteri relativi a tali serie (rappporto, radice, confronto ...); applicando in questo caso il criterio del confronto, ricordando che $\sin x<1,\forall x,$ si ha che:
\begin{align*}
\left|\frac{\sin n}{n^4+1}\right|=\frac{\left|\sin n\right|}{\left|n^4+1\right|} =\frac{\left|\sin n\right|}{ n^4+1 } <\frac{1}{ n^4+1 } <\frac{1}{ n^4} ,
\end{align*}
e poichè la serie di termine generale $1/n^4,$ risulta conergente in quanto serie armonica generalizzata di esponente maggiore di uno, la serie converge assolutamente, e quindi anche semplicemente.
E' importante sottolineare che il teorema non è invertibile, cioè può accadere che la serie $\sum a_n $ sia convergente, ma non lo sia la serie $\sum |a_n|.$ Ad esempio, considerando la serie
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n},
\end{align*}
applicando il criterio della convergenza assoluta ottenimo:
\begin{align*}
\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right|=\frac{\left|(-1)^n\right|}{\left|\sqrt n\right|} =\frac{\left|(-1)^n\right|}{\sqrt n} =\frac{1}{\sqrt n } ,
\end{align*}
e in questo caso, la serie dei valori assoluti è una serie armonica divergente, e quindi la serie risulta assolutamente divergente, fatto che non ci permetta di concludere nulla. Quindi in questo caso è necessario intraprendere un altra via per studiare il carattere della serie, e in questo caso ci soccorre il seguente criterio dovuto a Leibnitz: infatti si verifaca che il termine $a_n $ del termine generale è infinitesimo e definitivamente decrecente, ovvero, per ogni $\forall n\in\N,$ si ha che $ a_{n+1}
\frac{1}{\sqrt {n+1}}< \frac{1}{\sqrt {n}}\qquad\Leftrightarrow\qquad \sqrt {n+1}>\sqrt {n},\quad\forall n\in\mathbb{N},
\end{align*}
verificando queste ipotesi, si può concludere che la serie converge semplicemente, ma non assolutamente.
Infine, consideriamo l'ultimo esempio
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{ n^2+1}{n!};
\end{align*}
in questo caso abbiamo a che fare con una serie a segni alterni; quindi si potrebbe sia applicare Leibniz, verificandone le ipotesi, oppure considerando più semplicemente la convergenza assoluta: infatti
\begin{align*}
\left|(-1)^n\frac{ n^2+1}{n!}\right|= \frac{ n^2+1}{n!} \sim\frac{ n^2 }{n!}\to\mbox{converge.}
\end{align*}
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin n}{n^4+1},\quad\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{ n^2+1}{n!},\quad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n},
\end{align*}
sono serie di segno variabile, in particolare la seconda e la terza sono a segno alterno in quanto i suoi addendi si alternano uno positivo, uno negativo,.... .
Per lo studio di tali serie esistono fondamentalmente due criteri: quello della convergenza assoluta , che può essere invocato in presenza di una qualsivoglia serie di segno variabile, e il criterio di Leibnitz, applicabile esclusivamente alle serie di segno alterno.
Il criterio della convergenza assoluta
Sia $ \sum a_n$ una serie a termini variabili; se la serie $ \sum |a_n|$ converge, allora pure la serie $ \sum a_n$ converge.
Dimostrazione
Ad esempio, consideriamo la serie
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\sin n}{n^4+1},
\end{align*}
non ha segno costante, in quanto la il seno altera il segno del termine generale; considerando allora il valore assoluto del termine generale: avendo ora una seire a termini positivi, possiamo applicare uno di criteri relativi a tali serie (rappporto, radice, confronto ...); applicando in questo caso il criterio del confronto, ricordando che $\sin x<1,\forall x,$ si ha che:
\begin{align*}
\left|\frac{\sin n}{n^4+1}\right|=\frac{\left|\sin n\right|}{\left|n^4+1\right|} =\frac{\left|\sin n\right|}{ n^4+1 } <\frac{1}{ n^4+1 } <\frac{1}{ n^4} ,
\end{align*}
e poichè la serie di termine generale $1/n^4,$ risulta conergente in quanto serie armonica generalizzata di esponente maggiore di uno, la serie converge assolutamente, e quindi anche semplicemente.
E' importante sottolineare che il teorema non è invertibile, cioè può accadere che la serie $\sum a_n $ sia convergente, ma non lo sia la serie $\sum |a_n|.$ Ad esempio, considerando la serie
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt n},
\end{align*}
applicando il criterio della convergenza assoluta ottenimo:
\begin{align*}
\left|\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\right|=\frac{\left|(-1)^n\right|}{\left|\sqrt n\right|} =\frac{\left|(-1)^n\right|}{\sqrt n} =\frac{1}{\sqrt n } ,
\end{align*}
e in questo caso, la serie dei valori assoluti è una serie armonica divergente, e quindi la serie risulta assolutamente divergente, fatto che non ci permetta di concludere nulla. Quindi in questo caso è necessario intraprendere un altra via per studiare il carattere della serie, e in questo caso ci soccorre il seguente criterio dovuto a Leibnitz: infatti si verifaca che il termine $a_n $ del termine generale è infinitesimo e definitivamente decrecente, ovvero, per ogni $\forall n\in\N,$ si ha che $ a_{n+1}
\frac{1}{\sqrt {n+1}}< \frac{1}{\sqrt {n}}\qquad\Leftrightarrow\qquad \sqrt {n+1}>\sqrt {n},\quad\forall n\in\mathbb{N},
\end{align*}
verificando queste ipotesi, si può concludere che la serie converge semplicemente, ma non assolutamente.
Infine, consideriamo l'ultimo esempio
\begin{align*}
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{ n^2+1}{n!};
\end{align*}
in questo caso abbiamo a che fare con una serie a segni alterni; quindi si potrebbe sia applicare Leibniz, verificandone le ipotesi, oppure considerando più semplicemente la convergenza assoluta: infatti
\begin{align*}
\left|(-1)^n\frac{ n^2+1}{n!}\right|= \frac{ n^2+1}{n!} \sim\frac{ n^2 }{n!}\to\mbox{converge.}
\end{align*}
Grazie! Veramente una risposta assolutamente (e quindi anche semplicemente) esaustiva!
Solo per ricapitolare: convergenza assoluta se ho una serie a termini variabili; leibniz se incontro una forma (1)^k... Ho capito?
Solo per ricapitolare: convergenza assoluta se ho una serie a termini variabili; leibniz se incontro una forma (1)^k... Ho capito?
Si in generale si; ricorda che in ogni caso anche per le serie a segni alterni vale comunque in criterio della convergenza assoluta, come mostrato nell'ultimo esempio.
Grazie!
"spode":
leibniz se incontro una forma $(1)^k$... Ho capito?
forse volevi dire ... $(-1)^k$ ?
Nono qualcosa della forma (-1)^k*(a)k
Potrei chiedere agli amministratori del sito, che mi piace molto, di farne una versione mobile?
Potrei chiedere agli amministratori del sito, che mi piace molto, di farne una versione mobile?
XD figo
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