Serie numeriche (help)
Salve,come potrei studiare il carattere delle seguenti serie:
somma da 0 a infinito di $(1+1/n)^((n^3-2n)/(1-n))$ e somma da 0 a infinito di $(1-1/n)^((n^3+n)/(2n+3))$,grazie per l'attenzione.
[mod="Tipper"]Aggiunti un paio di dollari (le formule erano scritte correttamente).[/mod]
somma da 0 a infinito di $(1+1/n)^((n^3-2n)/(1-n))$ e somma da 0 a infinito di $(1-1/n)^((n^3+n)/(2n+3))$,grazie per l'attenzione.
[mod="Tipper"]Aggiunti un paio di dollari (le formule erano scritte correttamente).[/mod]
Risposte
Per prima cosa, spero che gli indici delle serie partano da 1..... cmq sia anche se fosse, i termini di indice zero "moralmente" valgono 1... quindi assunto questo considero le serie che partono con $n=1$
La prima, ma la seconda è simile...
$\sum_{n=1}^{\infty} (1 + 1/n)^((n^3 -2n)/(1-n)) = \sum_{n=1}^{\infty} e^log((1 + 1/n)^((n^3 -2n)/(1-n))) = \sum_{n=1}^{\infty} e^(((n^3 -2n)/(1-n))log(1 + 1/n)) $
$log(1 + 1/n) < 1/n$ quindi maggioro la serie con
$ \sum_{n=1}^{\infty} e^(((n^3 -2n)/((1-n)n))) \le \sum_{n=1}^{\infty} e^((n^2 - 2n)/(1-n)) \le \sum_{n=1}^{\infty} e^(-n+2) = e^2\sum_{n=1}^{\infty} (1/e)^n $ che converge poichè è una serie geometrica con ragione minore di 1. Quindi per il criterio del confronto converge anche la serie di partenza.
L'altra è simile a questa, il ragionamento è lo stesso.
Io personalmente non ho trovato altro modo... spero che qualcun'altro risponda con magari una via più elegante.
La prima, ma la seconda è simile...
$\sum_{n=1}^{\infty} (1 + 1/n)^((n^3 -2n)/(1-n)) = \sum_{n=1}^{\infty} e^log((1 + 1/n)^((n^3 -2n)/(1-n))) = \sum_{n=1}^{\infty} e^(((n^3 -2n)/(1-n))log(1 + 1/n)) $
$log(1 + 1/n) < 1/n$ quindi maggioro la serie con
$ \sum_{n=1}^{\infty} e^(((n^3 -2n)/((1-n)n))) \le \sum_{n=1}^{\infty} e^((n^2 - 2n)/(1-n)) \le \sum_{n=1}^{\infty} e^(-n+2) = e^2\sum_{n=1}^{\infty} (1/e)^n $ che converge poichè è una serie geometrica con ragione minore di 1. Quindi per il criterio del confronto converge anche la serie di partenza.
L'altra è simile a questa, il ragionamento è lo stesso.
Io personalmente non ho trovato altro modo... spero che qualcun'altro risponda con magari una via più elegante.
Pensandoci ora.... con il criterio della radice ennesima si risolve velocemente... infatti
$\lim_{n\rightarrow +\infty} ((1+1/n)^((n^3 + 2n)/(1-n)))^(1/n) = \lim_{n\rightarrow +\infty} (1+1/n)^((n^2 + 2)/(1 - n)) = \lim_{n\rightarrow +\infty} (1+1/n)^(-n) = 1/e < 1$
e
$\lim_{n\rightarrow +\infty} ((1-1/n)^((n^3+n)/(2n +3)))^(1/n) = \lim_{n\rightarrow +\infty} (1-1/n)^((n^2 + 1)/(2n + 3)) = \lim_{n\rightarrow +\infty} (1-1/n)^(n/2) = \sqrt{(1/e)} < 1 $
Quindi essendo i limiti entrambi minori di 1 le due serie convergono.
$\lim_{n\rightarrow +\infty} ((1+1/n)^((n^3 + 2n)/(1-n)))^(1/n) = \lim_{n\rightarrow +\infty} (1+1/n)^((n^2 + 2)/(1 - n)) = \lim_{n\rightarrow +\infty} (1+1/n)^(-n) = 1/e < 1$
e
$\lim_{n\rightarrow +\infty} ((1-1/n)^((n^3+n)/(2n +3)))^(1/n) = \lim_{n\rightarrow +\infty} (1-1/n)^((n^2 + 1)/(2n + 3)) = \lim_{n\rightarrow +\infty} (1-1/n)^(n/2) = \sqrt{(1/e)} < 1 $
Quindi essendo i limiti entrambi minori di 1 le due serie convergono.
Grazie per la spiegazione, volevo chiedere per la seguente serie: somma sempre per n che va da zero a infinito di (nn^(1/2)+1)/(n^2+3n+1). Ho maggiorato con ((n^2+1)(n^2+3n+1) equivalente questa a n^2/n^2 che, per n che va ad infinito, è uguale ad 1, a tal punto come si ragiona? Una seconda serie: (n^(1/2)-1)/(n+2n^(1/2)+5), non essendo questa a termini positivi non mi è risciuto di risolverla. Ringrazio per la cortese attenzione.
Se non ho compreso male la formula la prima serie è la seguente
$\sum_{n=0}^\infty (\sqrt n +1)/(n^2 +3n +1)$
Questa volta il fatto che $n$ parta da zero non rappresenta un problema, infatti il primo termine vale $1$, quindi si può scrivere come
$1+\sum_{n=1}^\infty (\sqrt n +1)/(n^2 +3n +1)$
a questo punto io procederei per maggiorazione, riducendo il denominatore, quindi trascuro i gradi inferiori e mantengo solo $n^2$ e quindi otterrei
$\sum_{n=1}^\infty (\sqrt n +1)/n^2 = \sum_{n=1}^\infty (1/n^(3/2) + 1/n^2) = \sum_{n=1}^\infty 1/n^(3/2) + \sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ entrambe convergenti, dunque la serie di partenza converge.
Per quanto riguarda la seconda sempre avendo interpretato bene la formula
$\sum_{n=0}^\infty (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5) = -1/5 + \sum_{n=1}^\infty (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5)$
Se si procede per maggiorazioni si conclude che la serie maggiorata diverge... e quindi non si può dire nulla sulla serie di partenza, quindi l'unica via è trovare una serie minore di partenza che diverge e questo ci assicura che la serie di partenza diverge..... adesso penso a come si possa vedere questo....
EDIT: ok trovato
Prima di tutto per n=1 il termine della serie è nullo, inoltre a partire da n=4 possiamo minorare il numeratore con $1$ dato che da $n=4$ in poi $\sqrt n -1 \ge 1$, si può scrivere quindi
$-1/5 + \sum_{n=2}^3 (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5) + \sum_{n=4}^\infty (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5)$
chiamiamo $M= -1/5 + \sum_{n=2}^3 (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5)$ e quindi risulta
$M + \sum_{n=4}^\infty (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5) \ge M + \sum_{n=4}^\infty 1/(n+2\sqrt n +5)$
A questo punto dobbiamo mostrare che la serie minorata, diverga, quindi dobbiamo maggiorare la stessa senza che questa nuova serie maggiori anche quella di partenza. Si può pensare di maggiorarla con $\sum 1/n$, ma bisogna trovare l'indice tale per cui da quel punto in poi valga la maggiorazione che rimanga minorazione di quella di partenza.
Si può vedere che $((\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5))/(1/n) > 1$ con $n \ge 16$ (ho provato con dei quadrati per semplicità) quindi
$M + \sum_{n=4}^\infty (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5) \ge M + \sum_{n=4}^\infty 1/(n+2\sqrt n +5) = M + \sum_{n=4}^{15} 1/(n+2\sqrt n +5) + (\sum_{n=16}^\infty 1/(n+2\sqrt n +5) \le \sum_{n=16}^\infty 1/n)$
Essendo 1/n divergente, risulta che la serie di partenza diverge.
In generale per serie a termini non tutti positivi si utilizza la convergenza assoluta, ovvero si studia la convergenza della serie dei moduli, se questa converge allora anche la serie di partenza converge.
$\sum_{n=0}^\infty (\sqrt n +1)/(n^2 +3n +1)$
Questa volta il fatto che $n$ parta da zero non rappresenta un problema, infatti il primo termine vale $1$, quindi si può scrivere come
$1+\sum_{n=1}^\infty (\sqrt n +1)/(n^2 +3n +1)$
a questo punto io procederei per maggiorazione, riducendo il denominatore, quindi trascuro i gradi inferiori e mantengo solo $n^2$ e quindi otterrei
$\sum_{n=1}^\infty (\sqrt n +1)/n^2 = \sum_{n=1}^\infty (1/n^(3/2) + 1/n^2) = \sum_{n=1}^\infty 1/n^(3/2) + \sum_{n=1}^\infty 1/n^2$ entrambe convergenti, dunque la serie di partenza converge.
Per quanto riguarda la seconda sempre avendo interpretato bene la formula
$\sum_{n=0}^\infty (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5) = -1/5 + \sum_{n=1}^\infty (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5)$
Se si procede per maggiorazioni si conclude che la serie maggiorata diverge... e quindi non si può dire nulla sulla serie di partenza, quindi l'unica via è trovare una serie minore di partenza che diverge e questo ci assicura che la serie di partenza diverge..... adesso penso a come si possa vedere questo....
EDIT: ok trovato
Prima di tutto per n=1 il termine della serie è nullo, inoltre a partire da n=4 possiamo minorare il numeratore con $1$ dato che da $n=4$ in poi $\sqrt n -1 \ge 1$, si può scrivere quindi
$-1/5 + \sum_{n=2}^3 (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5) + \sum_{n=4}^\infty (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5)$
chiamiamo $M= -1/5 + \sum_{n=2}^3 (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5)$ e quindi risulta
$M + \sum_{n=4}^\infty (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5) \ge M + \sum_{n=4}^\infty 1/(n+2\sqrt n +5)$
A questo punto dobbiamo mostrare che la serie minorata, diverga, quindi dobbiamo maggiorare la stessa senza che questa nuova serie maggiori anche quella di partenza. Si può pensare di maggiorarla con $\sum 1/n$, ma bisogna trovare l'indice tale per cui da quel punto in poi valga la maggiorazione che rimanga minorazione di quella di partenza.
Si può vedere che $((\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5))/(1/n) > 1$ con $n \ge 16$ (ho provato con dei quadrati per semplicità) quindi
$M + \sum_{n=4}^\infty (\sqrt n -1)/(n+2\sqrt n +5) \ge M + \sum_{n=4}^\infty 1/(n+2\sqrt n +5) = M + \sum_{n=4}^{15} 1/(n+2\sqrt n +5) + (\sum_{n=16}^\infty 1/(n+2\sqrt n +5) \le \sum_{n=16}^\infty 1/n)$
Essendo 1/n divergente, risulta che la serie di partenza diverge.
In generale per serie a termini non tutti positivi si utilizza la convergenza assoluta, ovvero si studia la convergenza della serie dei moduli, se questa converge allora anche la serie di partenza converge.
Grazie per la cortese attenzione, veramente elegante la soluzione dell'ultima serie.
Volevo chiedere, a proposito, dell'ultima serie se è giusto considerare il primo termine negativo e i successivi tutti positivi e cercare, eventualmente di maggiorare quella che si otterrebbe da questi con una serie convergente.
Beh.. alla fine è solo un termine finito..... "$\infty - 1 = \infty$" quindi non cambia molto, ben diverso sarebbe stato se la serie era a termini con segni alterni....
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