Serie Numeriche e Convergenza
ciao a tutti, raga ho problemi con le SERIE....
sapreste aiutarmi con queste due:
di questa dovrei calcolarne il valore...ecco però non so come procedere...
mentre di quest'altra devo studiarne la convergenza, ora però non so che criterio applicare
vi ringrazio!!!
sapreste aiutarmi con queste due:
di questa dovrei calcolarne il valore...ecco però non so come procedere...
mentre di quest'altra devo studiarne la convergenza, ora però non so che criterio applicare
vi ringrazio!!!
Risposte
per la prima prova a osservare che $sum1/(j(j^2-1))=sum1/(j(j+1)(j-1))=1/2sum1/(j(j-1))-1/(j(j+1))$ se ho visto bene...
Per la seconda ti suggerei prima una maggiorazione con $sum 2^jsin(1/2^j)$ e poi applicherei il criterio della radice...
per FU^2: come hai fatto a far uscire quel 1/2?? ma quello che hai scritto poi come posso calcolare il valore finale? facendolo con gli strumenti informatici mi viene fuori 1/4 solo che non vengono descritti i passaggi necessari....
per Zkeggia: se hai qualche minuti potresti svolgerla con quel criterio per favore?? anche se tipo la fai su carta e poi mi mandi una scan, una foto va bene qualsiasi mezzo....
scusate ma sono veramente nella c....a con questo argomento.....
GRAZIE ANCORA
per Zkeggia: se hai qualche minuti potresti svolgerla con quel criterio per favore?? anche se tipo la fai su carta e poi mi mandi una scan, una foto va bene qualsiasi mezzo....
scusate ma sono veramente nella c....a con questo argomento.....
GRAZIE ANCORA
$1/2$ perchè $1/(j(j-1))-1/(j(j+1))=(j+1-(j-1))/(j(j+1)(j-1))=2/(j(j+1)(j-1))$ quindi bisogna dividere per due.
la serie di mengoli http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Mengoli ti permetterà di pensare su come concludere...(nota che la serie parte da $j=2$ quindi $sum_{j>=2}1/(j(j-1))=sum_{j>=1}1/(j(j+1))$, l'altra invece nota che gli manca il primo addendo essendo che parte anch'essa da $j=2$ che vale...). Puoi spezzare la serie in due essendo che entrambe sono convergenti e a termini positivi!
Attento che spezzare e dividere in due serie così non è sempre lecito!
Non ti tolgo il gusto di concludere i calcoli
la serie di mengoli http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Mengoli ti permetterà di pensare su come concludere...(nota che la serie parte da $j=2$ quindi $sum_{j>=2}1/(j(j-1))=sum_{j>=1}1/(j(j+1))$, l'altra invece nota che gli manca il primo addendo essendo che parte anch'essa da $j=2$ che vale...). Puoi spezzare la serie in due essendo che entrambe sono convergenti e a termini positivi!
Attento che spezzare e dividere in due serie così non è sempre lecito!
Non ti tolgo il gusto di concludere i calcoli
ps per i criteri di convergenza prova a vedere su wiky comunque: http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_della_radice (che per una volta è fatta meglio la pagina in italiano rispetto alla pagina in inglese)
Notiamo che $sin(1/(1+2^n)$ tende a 0 più velocemente di $sin (1/2^n)$ per ogni n >1. Allora possiamo dire che:
$sum 2^nsin(1/(1+2^n))
ora se quest'ultima serie converge, per il criterio del confronto convergerà anche la prima. Verifichiamo che quest'ultima serie converga. Uso il criterio della radice:
$lim_(n->oo) root(n)(2^nsin(1/(2^n))) = 2lim root(n)(sin(1/(2^n))$
Ora faccio un cambio di variabili: $y=1/n$ ($n->oo -> y->0$)
Ottengo quindi:
$lim_(y->o) (sin(2^(-1/y)))^(1/y)$
Da qui in poi puoi usare gli o piccoli tranquillamente e risolvere il limite.
$sum 2^nsin(1/(1+2^n))
ora se quest'ultima serie converge, per il criterio del confronto convergerà anche la prima. Verifichiamo che quest'ultima serie converga. Uso il criterio della radice:
$lim_(n->oo) root(n)(2^nsin(1/(2^n))) = 2lim root(n)(sin(1/(2^n))$
Ora faccio un cambio di variabili: $y=1/n$ ($n->oo -> y->0$)
Ottengo quindi:
$lim_(y->o) (sin(2^(-1/y)))^(1/y)$
Da qui in poi puoi usare gli o piccoli tranquillamente e risolvere il limite.
non è possibile studiare la convergenza con questo metodo( in quanto il limite risulterebbe 1 che non da informazioni)..mi sembra molto più conveniente usare il metodo del confronto..
Viene meno la condizione necessaria per la convergenza...
$lim_{n\to\infty}a_n!=0$
$lim_{n\to\infty}a_n!=0$
"Mathematico":
Viene meno la condizione necessaria per la convergenza...
$lim_{n\to\infty}a_n!=0$
scusami, come mai?
"cntrone":
[quote="Mathematico"]Viene meno la condizione necessaria per la convergenza...
$lim_{n\to\infty}a_n!=0$
scusami, come mai?[/quote]
Il limite esce 1
. Non scrivo i passaggi perchè vorrei che c'arrivasse da solo Scorza. Comunque forse non sono stato molto chiaro, io intendo il limite:$lim_{n->\infty} 2^n sin(1/(1+2^n))= 1$
si giusto!! che scemo mi era sfuggito..
raga ma tipo non ce una regola per sapere quando e dove applicare uno specifico criterio? tipo io so che quando c'e il fattoriale si usa quello del rapporto....
questo limite non mi risulta uno... sviluppo al primo ordine il $sin(2^(-1/y)) = 2^(-1/y) + o(2^(-1/y))$
Sostituisco nel limite ottenendo
$lim_(y->0)(2^(-1/y)1 + o(2^(-1/y))/(2^(-1/y)))^(1/y) = lim 2^(-1/y^2)(1 + o(2^(-1/y))/(2^(-1/y)))^(1/y) = 0$
Sostituisco nel limite ottenendo
$lim_(y->0)(2^(-1/y)1 + o(2^(-1/y))/(2^(-1/y)))^(1/y) = lim 2^(-1/y^2)(1 + o(2^(-1/y))/(2^(-1/y)))^(1/y) = 0$
$sin(x)~= x$ per $x\to 0$ dunque:
$sin(1/(1+2^n))~= 1/(1+2^n)$ per $n->\infty$ di conseguenza:
$lim_{n->\infty} 2^n sin(1/(1+2^n)) = lim_{n\to\infty} 2^n/(1+2^n)= lim 2^n/(2^n(1+1/2^n))=1$
$sin(1/(1+2^n))~= 1/(1+2^n)$ per $n->\infty$ di conseguenza:
$lim_{n->\infty} 2^n sin(1/(1+2^n)) = lim_{n\to\infty} 2^n/(1+2^n)= lim 2^n/(2^n(1+1/2^n))=1$
ooops, stavo guardando il limite della radice e non quello dell'espressione iniziale, scusate...
Mmm, ti riferisci a $lim_{n\to\infty} \root(n)(2^n sin(1/(1+2^n)))$? Se non ho fatto male i conti a me torna 1... 
come è possibile? questo è:
$2 lim (sin(1/(1+2^n)))^(1/n) ≅ (1/(1+2^n))^(1/n) = 0$
$2 lim (sin(1/(1+2^n)))^(1/n) ≅ (1/(1+2^n))^(1/n) = 0$
"Zkeggia":
come è possibile? questo è:
$2 lim (sin(1/(1+2^n)))^(1/n) ≅ (1/(1+2^n))^(1/n) = 0$
$(1/(1+2^n))^(1/n) ~= (1/2^n)^(1/n)= 1/2
ok hai ragione. Scusa
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