Serie numeriche e convergenza
Ciao a tutti, ho questo esercizio che proprio non so come affrontare.
Determinare gli insiemi $E,F sube RR$ degli $x$ tali che le serie numeriche $A(x)=\sum_{n=0}^infty 2^n cos^n x, B(x)=\sum_{n=1}^infty (-1)^n (3^(nx))/sqrt(n^3 +1)$
siano convergenti, rispettivamente, in $E$ e in $F$, precisando per quali valori di $x$ la convergenza è assoluta. Calcolare poi la somma di $A(x)$, al variare di $x$.
Per la serie $A(x)$ per verificarne la convergenza ho utilizzato il criterio della radice, mentre per $B(x)$ il criterio di Leibniz, ma non so cosa intende quando chiede di calcolare la somma della serie $A(x)$.
Grazie!
Determinare gli insiemi $E,F sube RR$ degli $x$ tali che le serie numeriche $A(x)=\sum_{n=0}^infty 2^n cos^n x, B(x)=\sum_{n=1}^infty (-1)^n (3^(nx))/sqrt(n^3 +1)$
siano convergenti, rispettivamente, in $E$ e in $F$, precisando per quali valori di $x$ la convergenza è assoluta. Calcolare poi la somma di $A(x)$, al variare di $x$.
Per la serie $A(x)$ per verificarne la convergenza ho utilizzato il criterio della radice, mentre per $B(x)$ il criterio di Leibniz, ma non so cosa intende quando chiede di calcolare la somma della serie $A(x)$.
Grazie!
Risposte
Ciao Rebb10,
Beh, la prima è una serie geometrica di ragione $2 cosx $, dato che evidentemente si può scrivere:
$ \sum_{n=0}^infty 2^n cos^n x = \sum_{n=0}^infty (2 cosx)^n = \frac{1}{1 - 2cosx} = A(x) $
Quanto sopra naturalmente se $|2cosx| < 1 $
Il criterio della radice lo puoi usare solo sulla serie assoluta, perché $ cosx $ può essere negativo.
Beh, la prima è una serie geometrica di ragione $2 cosx $, dato che evidentemente si può scrivere:
$ \sum_{n=0}^infty 2^n cos^n x = \sum_{n=0}^infty (2 cosx)^n = \frac{1}{1 - 2cosx} = A(x) $
Quanto sopra naturalmente se $|2cosx| < 1 $
Il criterio della radice lo puoi usare solo sulla serie assoluta, perché $ cosx $ può essere negativo.
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