Serie numeriche di cui determinare il carattere.
Ho questi esercizi svolti che non riesco a capire.
Bisogna precisare il carattere delle seguenti serie. Ne cito una ad esempio.
$\sum_{n=1}^\infty\frac{n+2}{n^3+5}$
Mi viene detto, dopo aver considerato che il rapporto $frac{n+2}{n^3+5}$ è asintotico a quello $1/n^2$ che per la risoluzione del limite della serie bisogna considerare il secondo criterio di asintoticità. Lo metto in grassetto poichè non sono sicuro che sia universalmente conosciuto come tale.
Io adesso vi cito la mia versione del teorema, al fine di evidenziare possibili errori.
Dunque, l'enunciato è il seguente:
Siano $x_1 + x_2 + ... + x_n+ ...$, $y_1 + y_2+ ...+ y_n + ...$ serie numeriche a termini non nulli. Se
$lim_(n \to \infty) (|x_n|/|y_n|) = l$, con $0 < l < +\infty$,
allora le serie dei moduli delle due serie citate hanno lo stesso carattere.
Praticamente, la mia difficoltà sta nell'applicare il teorema. Io considero come successioni $|x_n|$ e $|y_n|$ rispettivamente i moduli della successione costante $1$ e di quella $n^2$. Il limite del rapporto tra i due moduli è $0$, eventualità, questa, che è esclusa dalle possibilità tra le quali $l$ assume un valore.
Inoltre, non saprei nemmeno come utilizzare l'ultimo capoverso con questa serie.
Bisogna precisare il carattere delle seguenti serie. Ne cito una ad esempio.
$\sum_{n=1}^\infty\frac{n+2}{n^3+5}$
Mi viene detto, dopo aver considerato che il rapporto $frac{n+2}{n^3+5}$ è asintotico a quello $1/n^2$ che per la risoluzione del limite della serie bisogna considerare il secondo criterio di asintoticità. Lo metto in grassetto poichè non sono sicuro che sia universalmente conosciuto come tale.
Io adesso vi cito la mia versione del teorema, al fine di evidenziare possibili errori.
Dunque, l'enunciato è il seguente:
Siano $x_1 + x_2 + ... + x_n+ ...$, $y_1 + y_2+ ...+ y_n + ...$ serie numeriche a termini non nulli. Se
$lim_(n \to \infty) (|x_n|/|y_n|) = l$, con $0 < l < +\infty$,
allora le serie dei moduli delle due serie citate hanno lo stesso carattere.
Praticamente, la mia difficoltà sta nell'applicare il teorema. Io considero come successioni $|x_n|$ e $|y_n|$ rispettivamente i moduli della successione costante $1$ e di quella $n^2$. Il limite del rapporto tra i due moduli è $0$, eventualità, questa, che è esclusa dalle possibilità tra le quali $l$ assume un valore.
Inoltre, non saprei nemmeno come utilizzare l'ultimo capoverso con questa serie.
Risposte
prova con
$x_n= \frac{n+2}{n^3+5}$
$y_n= 1/(n^2)$
In questo caso i moduli non servono perchè lavori con quantità positive
$x_n= \frac{n+2}{n^3+5}$
$y_n= 1/(n^2)$
In questo caso i moduli non servono perchè lavori con quantità positive
Ok, grazie, penso di aver capito... 
Riprendo questa discussione, si tratta sempre dello stesso esercizio, determinare il carattere di una serie.
Prima però volevo una conferma su un criterio di asintoticità che mi è stato riferito in un modo che non trova conferma negli esercizi che mi trovo a fare. In particolare, c'è il primo criterio di asintoticità, che a me viene enunciato così (di questi chiedo appunto conferma, perchè ho il timore che vi sia qualche errore):
Primo criterio di asintoticità.
Sia $x_1+ ... + x_n$ una serie numerica, che chiameremo $(1)$
1) Se esiste $p >1$ tale che
$lim n^p |x_n| = l$, con 0<= l <= + infty, allora la serie $(1)$ è assolutamente convergente.
2) Se esiste $p in ]0, 1]$, tale che
$lim n^p |x_n| = l$, con 0 < l < + infty, la serie $(1)$ non è assolutamente convergente.
In grassetto sono evidenziate le parti per le quali ho qualche dubbio. Dubbio che deriva dall'analizzare alcuni esercizi.
Bisogna, ad esempio, stabilire il carattere della seguente serie:
$\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{n+3}$
Siccome il limite della successione tende a 1, so a priori che la serie non può essere convergente; in più, essendo il limite proprio 1, mi risulta impossibile applicare i criteri di radice e confronto. Però se guardate il primo criterio di asintoticità per come l'ho enunciato, se si considera il limite della successione:
$n^2* frac {|n+1|}{|n+3|}$, esso tenderebbe (salvo errori grossolani) a $+ \infty$, di conseguenza si ottiene la contraddizione per cui la serie è assolutamente convergente (per il primo criterio di asintoticità) e non convergente (perchè una condizione necessaria per la convergenza non è verificata).
Chi mi aiuta?
P.S.- Ho studiato solo alcuni criteri di convergenza o convergenza assoluta: Criterio di Leibniz per le serie alternanti, Criterio di convergenza di Cauchy, Criterio del confronto, Criterio della radice, Criterio del rapporto, Primo e secondo criterio di asintoticità.
Prima però volevo una conferma su un criterio di asintoticità che mi è stato riferito in un modo che non trova conferma negli esercizi che mi trovo a fare. In particolare, c'è il primo criterio di asintoticità, che a me viene enunciato così (di questi chiedo appunto conferma, perchè ho il timore che vi sia qualche errore):
Primo criterio di asintoticità.
Sia $x_1+ ... + x_n$ una serie numerica, che chiameremo $(1)$
1) Se esiste $p >1$ tale che
$lim n^p |x_n| = l$, con 0<= l <= + infty, allora la serie $(1)$ è assolutamente convergente.
2) Se esiste $p in ]0, 1]$, tale che
$lim n^p |x_n| = l$, con 0 < l < + infty, la serie $(1)$ non è assolutamente convergente.
In grassetto sono evidenziate le parti per le quali ho qualche dubbio. Dubbio che deriva dall'analizzare alcuni esercizi.
Bisogna, ad esempio, stabilire il carattere della seguente serie:
$\sum_{n=1}^\infty\frac{n+1}{n+3}$
Siccome il limite della successione tende a 1, so a priori che la serie non può essere convergente; in più, essendo il limite proprio 1, mi risulta impossibile applicare i criteri di radice e confronto. Però se guardate il primo criterio di asintoticità per come l'ho enunciato, se si considera il limite della successione:
$n^2* frac {|n+1|}{|n+3|}$, esso tenderebbe (salvo errori grossolani) a $+ \infty$, di conseguenza si ottiene la contraddizione per cui la serie è assolutamente convergente (per il primo criterio di asintoticità) e non convergente (perchè una condizione necessaria per la convergenza non è verificata).
Chi mi aiuta?
P.S.- Ho studiato solo alcuni criteri di convergenza o convergenza assoluta: Criterio di Leibniz per le serie alternanti, Criterio di convergenza di Cauchy, Criterio del confronto, Criterio della radice, Criterio del rapporto, Primo e secondo criterio di asintoticità.
"turtle87":
Primo criterio di asintoticità.
Sia $x_1,..., x_n$ una serie numerica.
1) Se esiste $p >1$ tale che
$lim n^p |x_n| = l$, con $0<= l <= + infty$, allora la serie è assolutamente convergente.
In questo caso è come se affermassi che la successione $|x_n|$ si comporta asintoticamente come $1/n^p$ con $p>1$. Poichè la serie
$\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^p$ con $p>1$ converge allora convergerà anche $\sum_{n=1}^{\infty}|x_n|$, di conseguenza hai assicurata la convergenza assoluta della serie $\sum_{n=1}^{\infty} x_n$ (Ricorda che convergenza assoluta $=>$ convergenza semplice, ma non vale il viceversa)
Nota: $x_1,....,x_n$ non è una serie numerica, ma una successione
Nota 2: $0
"turtle87":
2) Se esiste $p in ]0, 1], tale che
$lim n^p |x_n| = l$, con $0 < l < + infty$, la serie non è assolutamente convergente.
Stesso ragionamento di prima
, in questo caso però non puoi affermare che se la serie non è assolutamente convergente allora non converge semplicemente.Faccio un esempio:
Considera $x_n= (-1)^n/n=> lim_{n\to \infty} n* |x_n|=1=> $ $sum_{n=1}^{\infty} |x_n|= \infty$ ma $\sum_{n=1} x_n< +\infty$ per Leibnitz.
Spero sia chiaro
$x_1, ..., x_n$ non è una serie numerica, ma una successione
Ho corretto, scusami
.Ho anche mancato il grassetto, rimedio subito; a causa di esso le espressioni non risulteranno scritte in codice. Spero si capisca comunque.
Passiamo alle cose serie
.1) Tu dici che poichè la serie $\sum_{n=1}^\infty 1/n^p$ converge, allora convergerà anche una sua asintotica, cioè $\sum_{n=1}^\infty |x_n|$, e ciò mi assicura la convergenza assoluta della serie $\sum_{n=1}^\infty x_n$.
Di conseguenza, per una proprietà delle asintoticità applicate allo studio dei limiti,
$lim n^p * |x_n| = lim n^p * 1/n^p = 1$. Perchè allora è possibile stabilire, partendo dall'enunciato che ho dato io, che le due funzioni $|x_n|$ e $1/n^p$ siano asintotiche, visto che nel "range" di valori possibili di $l$ stanno tutti i numeri reali positivi più $0$ e $+ \infty$?
2) Ho postato un nuovo esempio, magari sarebbe opportuno discutere quello. Cioè, io non riesco a capacitarmi di un apparente contraddizione, anche se probabilmente, ignoro molte cose e molte altre non le ho proprio capite. Forse faccio un po' di confusione, anzi sicuramente, nell'interpretare le tue parole.
Comunque grazie, fammi sapere!
Domandina per te: Quando due successioni si dicono asintotiche? In particolare, quando una successione è asintotica a $1/n^p$? 
L'esempio riportato non contraddice quello che hai scritto. Non so dove tu abbia preso il fattore $n^2$, inoltre la successione ${(n+1)/(n+3)}_{n\in NN}$ si comporta asintoticamente come $1$ già da qui puoi concludere che la serie diverge.
Posso portare come esempio la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n^3+5}$
In tal caso $a_n= \frac{n+2}{n^3+5}$
Riusciamo a trovare un $p$ tale che $lim_{n->\infty}\frac{a_n}{\frac{1}{n^p}}=l => lim_{n->\infty} n^p a_{n}=l, " con " l\in (0,+\infty)?$ la risposta è sì!
Prova a ragionare su questo.
L'esempio riportato non contraddice quello che hai scritto. Non so dove tu abbia preso il fattore $n^2$, inoltre la successione ${(n+1)/(n+3)}_{n\in NN}$ si comporta asintoticamente come $1$ già da qui puoi concludere che la serie diverge.
Posso portare come esempio la serie $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2}{n^3+5}$
In tal caso $a_n= \frac{n+2}{n^3+5}$
Riusciamo a trovare un $p$ tale che $lim_{n->\infty}\frac{a_n}{\frac{1}{n^p}}=l => lim_{n->\infty} n^p a_{n}=l, " con " l\in (0,+\infty)?$ la risposta è sì!
Prova a ragionare su questo.
Domandina per te: Quando due successioni si dicono asintotiche? In particolare, quando una successione è asintotica a $1/n^p$?
Per quello che posso dirti io, due successioni sono asintotiche se soddisfano le stesse proprietà che soddisferebbero qualsiasi altre due funzioni asintotiche. Non so aggiungere altro.
Le proprietà sono le seguenti: $f$ e $g$ sono asintotiche in uno stesso punto del loro dominio $x_0$ se:
$f(x_0) - g(x_0) = o (g(x_0))$, o equivalentemente se il limite del loro rapporto per $x$ che tende a $x_0$ vale $1$.
Prova a ragionare su questo.
Aspetta, ma l'intervallo in cui bisogna considerare $l$ è compatto o no? Perchè se non lo fosse, allora avrei sbagliato io a scrivere gli appunti...
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