Serie numeriche, criterio di leibniz però con derivata prima
Ciao a tutti, vorrei un chiarimento su una cosa che ho visto all'ultima esercitazione di oggi di Analisi Matematica 1.
Oggi il nostro esercitatore, ci ha fatto esercizi generali sull'intero programma e ci ha detto che se abbiamo una serie a termini di segno alternato $\sum (-1)^n a_n$ che detto che se la serie non converge assolutamente, bisogna considerare il criterio di Leibniz (il solito che avevamo visto quando abbiamo fatto le serie numeriche), però per non stare a considerare il punto 3, cioè $a_n>a_{n+1}$, possiamo trasformare il termine generale della serie $a_n$ in una funzione $f(x)$ e farne la derivata prima. Facendo questo si fa tendere $x\to +\infty$ e se $f'(x)<0$ allora la terza ipotesi di Leibniz è verificata!
Ok so benissimo che c'è un teorema sulle derivate che dice che se $f'(x)$ è $<0$ allora la funzione è monotona decrescente.. ma io ho avuto un dubbio su questo che ha detto il prof, cioè lui trasforma il termine generale della serie che è una successione in una funzione, OK che c'è il teorema del ponte.. ma sta operazione si può sempre fare?
È questo il mio dubbio e vorrei un chiarimento.. se si può sempre fare..
Oggi il nostro esercitatore, ci ha fatto esercizi generali sull'intero programma e ci ha detto che se abbiamo una serie a termini di segno alternato $\sum (-1)^n a_n$ che detto che se la serie non converge assolutamente, bisogna considerare il criterio di Leibniz (il solito che avevamo visto quando abbiamo fatto le serie numeriche), però per non stare a considerare il punto 3, cioè $a_n>a_{n+1}$, possiamo trasformare il termine generale della serie $a_n$ in una funzione $f(x)$ e farne la derivata prima. Facendo questo si fa tendere $x\to +\infty$ e se $f'(x)<0$ allora la terza ipotesi di Leibniz è verificata!
Ok so benissimo che c'è un teorema sulle derivate che dice che se $f'(x)$ è $<0$ allora la funzione è monotona decrescente.. ma io ho avuto un dubbio su questo che ha detto il prof, cioè lui trasforma il termine generale della serie che è una successione in una funzione, OK che c'è il teorema del ponte.. ma sta operazione si può sempre fare?
È questo il mio dubbio e vorrei un chiarimento.. se si può sempre fare..
Risposte
E' abbastanza facile trovare un caso in cui questo procedimento fallisce. Considera ad esempio la serie $\sum_{n=1}^{\infty] (-1)^{n+1} a_{n}$ con $a_{n}= \frac{\sin (8 n +1)\ \frac{\pi}{4}}{n}$ . La serie converge per il criterio di Leibnitz e la sua somma vale $\frac{\ln 2}{\sqrt{2}}$. Se pero' consideriamo le $a_{n}$ come i valori assunti dalla funzione $f(x)= \frac{\sin (8 x + 1)\ \frac{pi}{4}}{x}$ in x=n allora in quei punti e' $f'(x)>0$...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
@ 21zuclo: L'esercitatore ha usato il seguente fatto:
Ovviamente la scelta di \(f\) è dettata da ciò che hai sotto mano.
Il controesempio di \(\chi \sigma\), per quanto ingegnoso, si può comunque trattare con il precedente corollario: all'uopo, basta notare che \(\sin (8n+1)\pi = \sin \pi =-1\), cosicché:
\[
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\ \frac{\sin (8 n +1)\ \pi}{4\ n} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+2}\ \frac{1}{4\ n} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\ \frac{1}{4\ n}
\]
sicché basta scegliere \(f(x):= \frac{1}{4x}\).
Supponiamo che \(f:[0,\infty[\to [0,\infty[\) sia continua e derivabile.
Se \(\lim_{x\to \infty} f(x)=0\) e se \(f^\prime (x)<0\) intorno a \(\infty\), allora la serie a segni alterni \(\sum (-1)^n f(n)\) soddisfa le ipotesi di Leibniz.
Ovviamente la scelta di \(f\) è dettata da ciò che hai sotto mano.
Il controesempio di \(\chi \sigma\), per quanto ingegnoso, si può comunque trattare con il precedente corollario: all'uopo, basta notare che \(\sin (8n+1)\pi = \sin \pi =-1\), cosicché:
\[
\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\ \frac{\sin (8 n +1)\ \pi}{4\ n} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+2}\ \frac{1}{4\ n} = \sum_{n=1}^\infty (-1)^n\ \frac{1}{4\ n}
\]
sicché basta scegliere \(f(x):= \frac{1}{4x}\).
@Gugo.
Scusa se mi permetto,ma credo ci sia un misunderstanding che potrebbe generare qualche difficoltà:
forse è meglio $f(x)=1/(sqrt(2)x)$..
@Ettore.
Il tuo controesempio non và bene
(e d'altronde,per quanto enunciato da Gugo,non potrebbe
)
perchè non è vero che $2pix"cos"(2pix+pi/4)-"sen(2pix+pi/4)$ è negativa in alcun intorno di $+oo$..
@21zuclo.
L'idea dimostrativa è semplice:
se $f$ è decrescente in un intorno di $+oo$,
è immediato verificare a norma di definizione che lo è pure,definitivamente,la successione numerica $f(a_n)$:
attento ai segni,però,che di recente ho usato un trucchetto simile in un altro post,ed ho fatto una figura barbina !
Saluti dal web.
Scusa se mi permetto,ma credo ci sia un misunderstanding che potrebbe generare qualche difficoltà:
forse è meglio $f(x)=1/(sqrt(2)x)$..
@Ettore.
Il tuo controesempio non và bene
(e d'altronde,per quanto enunciato da Gugo,non potrebbe
)perchè non è vero che $2pix"cos"(2pix+pi/4)-"sen(2pix+pi/4)$ è negativa in alcun intorno di $+oo$..
@21zuclo.
L'idea dimostrativa è semplice:
se $f$ è decrescente in un intorno di $+oo$,
è immediato verificare a norma di definizione che lo è pure,definitivamente,la successione numerica $f(a_n)$:
attento ai segni,però,che di recente ho usato un trucchetto simile in un altro post,ed ho fatto una figura barbina
!Saluti dal web.
@ theras: Evidentemente il post è stato modificato mentre scrivevo.
In quello da cui ho copiato gli \(a_n\) c'era scritto \(a_n= \frac{\sin (8n+1)\pi}{4n}\) e tutto filava liscio con un po' d'algerba.
In quello da cui ho copiato gli \(a_n\) c'era scritto \(a_n= \frac{\sin (8n+1)\pi}{4n}\) e tutto filava liscio con un po' d'algerba.
Immaginavo bene allora,Gugo:
ma per la solita ragione non risulta la modifica di quel termine generale iniziale,ossia $a_n="cos"(8n+1)pi$,
e m'è sembrato meglio chiarire la questione per eventuali lettori del thread inesperti di certe questioni tecniche del Forum .
Saluti dal web.
ma per la solita ragione non risulta la modifica di quel termine generale iniziale,ossia $a_n="cos"(8n+1)pi$,
e m'è sembrato meglio chiarire la questione per eventuali lettori del thread inesperti di certe questioni tecniche del Forum
.Saluti dal web.
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